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1、2021年广东省梅州市兴林中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列的通项公式为，其前n项和为，则在数列、中，有理数项的项数为A42 B43 C44 D45参考答案：B2. 设复数z=1+bi（bR），且z2=3+4i，则的虚部为（）A2B4C2D4参考答案：A【分析】利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出【解答】解：z2=3+4i，（1+bi）2=3+4i，1b2+2bi=3+4i，1b2=3，2b=4，解得b=2则=12i的虚部为2故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、复数
2、相等、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A B C D参考答案：B试题分析：A项,在上是减函数,故不符合题意.B项,在上为增函数,故B符合题意.C项,在上是减函数,故不符合题意.D项,在上是减函数,故不符合题意.故本题正确选项为B.考点：函数的单调性.4. 已知展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则展开式中含项的系数为A. 71 B. 70 C.21 D. 49 参考答案：B略5. 给出如下三个命题：若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；命题“若，则”的否命题为“若”；“”的否定是“”.其中不正确的命题的个数是A.0B.1C.2
3、D.3参考答案：C“p且q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题，所以错误。正确。“”的否定是“”，所以错误。所以不正确的命题的个数是2个，选C.6. 已知数列an是等差数列，若且数列an的前n项和Sn有最大值，则时的最大自然数n等于（ ）A19 B20 C21 D22参考答案：B7. 若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：D8. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数， ，则不等式的解集为( ) A B C D 参考答案：B9. 执行如图的程序框图，输出的结果为（）A136B134C268D266参考答案：D【考点】程序框图【分析】执行程
4、序框图，依次写出每次循环得到的S、i的值，即可求出程序运行后输出S的值【解答】解：执行如图的程序框图，有S=1，i=1满足条件i1，有S=182=6，i=6满足条件i1，有S=662=34，i=4满足条件i1，有S=3442=134，i=2满足条件i1，有S=13422=266，i=0不满足条件i1，输出S=266故选：D10. 若为第四象限角，则的值等于（）ABCD参考答案：A【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，tan的值，根据两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求解【解答】解：为第四象限角，cos=，tan=，=故选：A二、 填空题
5、:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点处的切线方程为 参考答案：考点：利用导数求函数的切线.12. 函数的定义域是_.参考答案：13. （文）已知函数，则关于的方程的实根的个数是_ _参考答案：5由得或。当时，此时，由，得。当时，若，得，即，此时。若，得，即，此时。所以关于的方程的实根的个数共有5个。14. 已知集合，且，则实数a的取值范围是_ . 参考答案：15. 已知实数x，y满足，则x2+y2的最小值是参考答案：【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=x2+y2，利用z的几何意义，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+y
6、2，则z的几何意义是区域到原点距离，由图象可知当直线x+y3=0与圆相切时，此时距离最短，d=，即z=d2=故答案为：16. 已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按l40编号，并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码 （I）若第1组抽出的号码为2，则听有被抽出职工的号码为 ； （）分别统计这5名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图 如图所示，则该样本的方差为 参考答案：（） 2,10,18,26,34；（） 62略17. 在直角坐标系xOy中，已知直线与椭圆C：相切，且椭圆C的右焦点关于直线的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为 参考答案：
7、1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），求证：a0；求证：f（x2）f（x1）参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，2），即可解得a；（2）依题意：f（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a0时
8、，当a0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；由知：f（x），f（x） 变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1（0，1），设h（x）=（xlnxx）（0x1），求得h（x）的单调性，即可得证【解答】（1）解：由已知可得，f（x）=lnx+1+2ax（x0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：ya=（2a+1）（x1），把（0，2）代入得：a=1； （2）证明：依题意：f（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g（x）=+2a（x0）当a0时，有g（x）0，所以g（x）是增函数，
9、不符合题意； 当a0时：由g（x）=0得：x=0，列表如下：x（0，）（，+）g（x）+0g（x）极大值依题意：g（）=ln（）0，解得：a0，综上可得，a0得证； 由知：f（x），f（x） 变化如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）0+0f（x）由表可知：f（x） 在x1，x2上为增函数，所以：f（x2）f（x1） 又f（1）=g（1）=1+2a0，故x1（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1x1）（0x11）设h（x）=（xlnxx）（0x1），则h（x）=lnx0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）h（1）=，也就
10、是f（x1）综上所证：f（x2）f（x1）成立19. （本小题满分14分）已知函数（）求的最小值；（）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；（）证明：参考答案：（）函数的定义域为，.当，当. 为极小值点.极小值g(1)=1. 3分 （）.上恒成立，即在上恒成立. 又，所以.所以，所求实数的取值范围为.7分 （）由 （），取设，则，即.于是. 所以. 14分20. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，证明：AF平面PCD参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平
11、面平行的判定【分析】（1）证明CDEF，ABCD，即可证明ABEF，利用线面平行的判定即可得解；（2）利用平面PAD平面ABCD，证明CDAF，PA=AD，所以AFPD，即可证明AF平面PCD；【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以CDEF因为底面ABCD是矩形，所以ABCD可得：ABEF，又因为EF?平面PAB，AB?平面PAB，所以EF平面PAB（2）证明：在矩形ABCD中，CDAD又因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，所以CD平面PAD又AF?平面PAD，所以CDAF由（1）可知ABEF，又因为ABCD，所以CDEF
12、由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点在PAD中，因为PA=AD，所以AFPD又因为PDCD=D，所以AF平面PCD21. 已知幂函数在(0,+)上单调递增，函数（1）求m的值；（2）当时，记的值域分别为集合A,B，设命题，命题，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.参考答案：22. 如图，在ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，sinB=（1）求sinBAD的值；（2）求cosADC及ABC外接圆的面积参考答案：【考点】三角形中的几何计算【分析】（1）由正弦定理即可解得sinBAD的值；（2）先求得cosB，cosBAD，利用两角和的余弦函数公式可求cosADC，由题意可求DC=BD=2，利用余弦定理即可求得AC的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，面积即可求出【解答】解：（1）在ABD中，BD=2，sinB=，AD=3，由正弦定理=，得sinBAD=；（2）sinB=，cosB=，sinBAD=，cosBAD=，cosAD
