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1、河北省唐山市下营中学2020年高三数学理月考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设函数,若时,有,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案:D2. 函数的部分图象如图所示,若,且 (),则( ) A. B. C. D.参考答案:【知识点】由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式;正弦函数的对称性C4 【答案解析】A 解析:由图知,T=2=,=2,因为函数的图象经过(),0=sin(+?),所以?=,所以故选C【思路点拨】通过函数的图象求出函数的周期,利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相,
2、得到函数的解析式,利用函数的图象与函数的对称性求出f(x1+x2)即可3. 设向量a=(1,0),b=(1,1),则下列结论正确的是A|a|=| b| Bab= C a-b与a垂直 Dab参考答案:C略4. 已知P(x,y)(其中x0)为双曲线x2=1上任一点,过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线,垂足分别为A、B,则PAB的面积为()ABCD与点P的位置有关参考答案:C【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意,O,P,A,B四点共圆,APB=AOB,tan=2,sinAOB=,求出|PA|PB|,即可得出结论【解答】解:由题意,O,P,A,B四点共圆,APB=AOB,tan=2,sinAOB=
3、,设P(x,y),双曲线的渐近线方程为y=2x,则|PA|PB|=,PAB的面积为?=故选C5. 已知集合,,则A B C D参考答案:B略6. 若,则( )A B C D 参考答案:D,故选:D7. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?假设,现有下述四个结论:水深为12尺;芦苇长为15尺;.其中所有正确结论的编号是(
4、)A. B. C. D. 参考答案:B【分析】利用勾股定理求出的值,可得,再利用二倍角的正切公式求得,利用两角和的正切公式求得的值.【详解】设,则,.即水深为12尺,芦苇长为12尺;,由,解得(负根舍去).,.故正确结论的编号为.故选:B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式,属于基础题.8. 袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回的摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则( )A B C D参考答案:C9. 函数的零点个数为( ) 1 2 3 4 参考答案:B略10. 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分
5、组区间是:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100 ,则图中的值等于 (A) (B) (C)(D)参考答案:C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合,若,则实数的取值范围是 _.参考答案:12. 若圆与圆的公共弦AB的长为,则圆C2上位于AB右方的点到AB的最长距离为_参考答案:1【分析】将两圆方程相减可得出公共弦AB的方程,求出圆的圆心到直线AB的距离,结合点到直线的距离公式求出正数的值,【详解】将圆与圆相减可得公共弦AB所在直线的方程为,所以,圆的圆心到直线AB的距离为,即,可得,则直线AB的方程为.因此,圆上位于AB右
6、方的点到AB的最长距离.故答案为:1.【点睛】本题考查利用相交弦长求参数,同时也考查了圆上一点到直线的距离最值的计算,考查计算能力,属于中等题.13. 的展开式中,项的系数为 (用数字作答)参考答案:5略14. (理)若实数t满足f(t)t,则称t是函数f(x)的一个次不动点设函数与反函数的所有次不动点之和为m,则m_参考答案:0略15. 函数的值域为 参考答案:略16. 已知6名嫌疑犯、中有1人在商场偷走钱包路人甲猜测:或偷的;路人乙猜测:不可能偷;路人丙猜测:、当中必有1人偷;路人丁猜测:、都不可能偷。若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对,则此人是 参考答案:丁 假设甲猜对,即D或E偷的,则乙也
7、猜对,相互矛盾;假设乙猜对,即C没偷,又丙猜错,则是D或E偷的,此时甲也猜对,相互矛盾;假设丙猜对,即A、B、F当中必有一人偷,此时乙也猜对;假设丁猜对,即D、E、F都不可能偷,甲、乙、丙均猜错,符合题意,故猜对的是丁。17. 已知平面向量满足,且与的夹角为120,则的取值范围是 参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知椭圆方程为,长轴两端点为,短轴上端点为(1)若椭圆焦点坐标为,点在椭圆上运动,且的最大面积为3,求该椭圆方程;(2)对于(1)中的椭圆,作以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形,设直线的斜率为,试求的值; (3)过任
8、作垂直于,点在椭圆上,试问在轴上是否存在点,使得直线的斜率与的斜率之积为定值,如果存在,找出一个点的坐标,如果不存在,说明理由 参考答案:解:(1)由已知:,联立方程组求得:所求方程为: 4分 (2)依题意设所在的直线方程为,代入椭圆方程并整理得:,则同理由得,即故 8分(3)由题意知设而(为定值).对比上式可知:选取,则得直线的斜率与的斜率之积为 13分19. 已知椭圆,(1)求椭圆的离心率.(2)设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,求直线与圆的位置关系,并证明你的结论.参考答案:20. 如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD底面ABCD,E 为侧棱PD的
9、中点(1)求证:PB平面EAC;(2)求证:AE平面PCD;(3)若AD=AB,试求二面角APCD的正切值;(4)当为何值时,PBAC?参考答案:【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题【分析】(1)连DB,设DBAC=O,面EAC内的直线OE与面外直线BP平行,即可证明PB平面EAC(2)要证AE平面PCD,可以证明面PDC面PAD,再利用面面垂直的性质定理,证明AE平面PCD(3)在PC上取点M使得证出AME为二面角APCD的平面角,在RtAEM中解即可(4)设N为AD中点,连接PN,要使PBAC,需且只需NBAC,在矩形ABCD中,设AD=1,AB
10、=x列方程并解即可【解答】解:(1)证明:连DB,设DBAC=O,则在矩形ABCD中,O为BD中点连EO因为E为DP中点,所以,OEBP又因为OE?平面EAC,PB?平面EAC,所以,PB平面EAC(2)正三角形PAD中,E为PD的中点,所以,AEPD,又面PDC面PAD=PD,所以,AE平面PCD(3)在PC上取点M使得由于正三角形PAD及矩形ABCD,且AD=AB,所以PD=AD=AB=DC所以,在等腰直角三角形DPC中,EMPC,连接AM,因为AE平面PCD,所以,AMPC所以,AME为二面角APCD的平面角在RtAEM中,即二面角APCD的正切值为(4)设N为AD中点,连接PN,则PN
11、AD又面PAD底面ABCD,所以,PN底面ABCD所以,NB为PB在面ABCD上的射影要使PBAC,需且只需NBAC在矩形ABCD中,设AD=1,AB=x则,解之得:所以,当=时,PBAC21. (16分)已知数列an的各项均为非负数,其前n项和为Sn,且对任意的nN*,都有 (1)若a1=1,a505=2017,求a6的最大值;(2)若对任意nN*,都有Sn1,求证: 参考答案:【分析】(1)由题意知an+1anan+2an+1,设di=ai+1ai(i=1,2,504),可得d1d2d3d504,且d1+d2+d3+d504=2016,可得=,即可得出(2)若存在kN*,使得akak+1,
12、则由,得ak+1akak+1ak+2,因此,从an项开始,数列an严格递增,可得a1+a2+anak+ak+1+an(nk+1)ak,可得矛盾,因此以an不可能递增,即只能anan+10令bk=akak+1,(kN*),由akak+1ak+1ak+2,得bkbk+1,bk0,进而得出【解答】解:(1)由题意知an+1anan+2an+1,设di=ai+1ai(i=1,2,504),则d1d2d3d504,且d1+d2+d3+d504=2016,=,所以d1+d2+d520,a6=a1+(d1+d2+d5)21(2)证明:若存在kN*,使得akak+1,则由,得ak+1akak+1ak+2,因此,从an项开始,数列an严格递增,故a1+a2+anak+ak+1+an(nk+1)ak,对于固定的k,当n足够大时,必有a1+a2+an1,与题设矛盾,所以an不可能递增,即只能anan+10令bk=akak+1,(kN*),由akak+1ak+1ak+2,得bkbk+1,bk0,故1a1+a2+an=(b1+a2)+a2+an=b1+2(b2+a3)+a3+an,=b1+2b2+nbn+nan,所以,综上,对一切nN*,都有【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、数列的单调性、不