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1、精选优质文档-倾情为你奉上 2.2 解析函数和调和函数的关系教学目的：弄清调和函数与共轭调和函数的概念，能理解并掌握解 析函数与调和函数的关系；并能灵活利用常用得三种方法 （不定积分法、偏积分法、曲线积分法）求以调和函数为实 部或虚部的解析函数重点：不定积分法和偏积分法求解析函数难点：曲线积分法求解析函数教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：2.2.1 调和函数的概念调和函数是有着广泛实际应用的一类函数（平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是特殊的二元实函数，即调和函数），它与解析函数有着密切的联系本节，我们将详细地介绍解析函数与调和函数的关系，并介绍利用调
2、和函数来求解析函数的若干方法.【定义2.3】 若二元实函数在区域内具有二阶连续的偏导数,且满足二维拉普拉斯方程（），则称为内的调和函数（或称在内调和）， 称为拉普拉斯算子.【定理2.3 】 若函数在区域内解析, 则的实部和虚部都是内的调和函数.证 在区域内解析,所以，在内可微，且在内满足C-R方程,，由解析函数的无穷可微性知和在内都具有任意阶连续的偏导数,从而也具有二阶连续的偏导数 ，所以；同理可证.故实部 和虚部 都是内的调和函数.2.2.2 共轭调和函数【义2.4】 若,都是区域内的调和函数,且在内满足柯西黎曼方程, 即 , 则称为的共轭调和函数.下面研究复变函数的实部、虚部两个二元实函数
3、与调和函数的关系.【定理2.4】若函数在区域内解析的充要条件是在内的虚部函数是实部函数的共轭调和函数.证明 （必要性） 因为在内解析，和都是D内的调和函数,且满足柯西黎曼条件所以 在内的虚部函数是实部函数的共轭调和函数.（充分性）在内的虚部函数是实部函数的共轭调和函数.所以 ，具有二阶连续偏导数且满足方程所以，具有一阶连续偏导数且满足方程故 在区域内解析.注：10.由解析函数的无穷可微性知,若函数在区域D内解析,则的任意阶导数在区域D内也解析,从而 和的任意阶偏导数也都是D内的调和函数.20.两个二元实函数和都是区域D内的调和函数,不一定能保证复函数在区域D内解析.20的反例：易证,都是平面上
4、的调和函数, 但 在平面上处处不解析.30.由第二章的解析函数的判别法知,设和都是定义在区域内的二元实函数,若为的共轭调和函数,则在内一定解析. 提问：1.函数解析，则下列命题中错误的是（ C ）A、均为调和函数 B、是的共轭调和函数C、的共轭调和函数 D、的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. （ ）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. （ ）2.2.3 解析函数与调和函数的关系 根据定理2.4来建立单连通区域内解析函数的一种求法.假设是一个单连通区域, 是内的一个调和函数,即 在内具有二阶连续的偏导数,并且从而,在内具有一阶连续的偏导数, （曲线积分与路径无关的条件
5、）.再由高数中有关曲线积分与路径无关的条件得, 存在内的二元函数,使得 , 于是 , 其中是内的一个定点, 是内的一个动点, 是任意实常数. 另外我们还有, 即和在内满足柯西黎曼条件, 从而易得 所以 也是内的调和函数,并且为的共轭调和函数. 故 由定理2.4, 我们构造函数, 就是内以为实部的解析函数.【定理】（1）若是单连通区域内的一个调和函数,则一定存在函数, 使得 为内的解析函数, 并且还有,其中是内的一个定点, 是D内的一个动点, C是任意实常数.（2）同理可得 若是单连通区域内的一个调和函数,则一定存在函数,使得 为内的解析函数, 并且还有,其中是内的一个定点, 是内的一个动点,
6、C是任意实常数.注: 此定理给出了已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部),从而求出解析函数的一种方法曲线积分法.由解析函数的实部或虚部求解析函数的举例例1 证明是平面上的调和函数, 并求以为实部的解析函数,使得.证明： 因为,为正式函数，所以有二阶连续偏导数， 所以 , 即是平面上的调和函数.下面，我们用三种方法来求满足题设条件的解析函数.方法1: （曲线积分法）由补充定理知取,（如图3.20）所以 , 再由条件,可得. 故 .方法2（微分方程中的常数变异法或称偏积分法）由条件得 - () - ()由()积分得 - ()求()对的偏导数代入()得 ,即 , 所以 (常数), 从而 ,
7、所求解析函数为 .再由条件,可得. 故 .方法3（不定积分法）：, 其中 , 因为 ,， 由解析函数的导数公式: 得 将, 代入上式 整理得 ， 所以 再由条件,可得. 故 .说明：从例1中所给的三种方法中，大家不难体会到，三种方法各有特点：方法1利用了高数中的第二型曲线积分的计算方法；方法2利用了求解微分方程的方法（常数变异法）；方法3是纯粹的复变函数的方法.在实际计算时可以根据具体的问题选择合适的方法计算.例2 设为的解析函数，且已知,求函数.解：方程两边分别对求偏导数得：， 由得： 代入得：，（C为任意常数） 从而，所求函数为： 练习：（1）已知调和函数,求解析函数.解：用不定积分法求解
8、如下：， 由得 ，所以：（2） 已知 是解析函数，且，求.解：， 对此，用偏积分求u比较方便： 将积分结果求对的偏导数得 所以 得， . 例3 证明 ()在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为, 则 , , 从而 , 故 是右半平面内的调和函数.下面用方法2(微分方程中的常数变异法)来求解析函数的实部.由条件得 - () - ()由()得 代入()得 , 即, 从而 (常数), . 故 所求解析函数为 () ().例4 已知调和函数 ，求一个解析函数 使.解(不定积分法) 因为 ， 所以 ，积分得 ，由得，故 .例5 已知调和函数 ，求一个解析函数使.解 ，积分得 ，由
9、得，故 .练习： 已知 ，试确定解析函数 .解 ： ，积分得 .例6 若为解析函数，且满足，试证：必为常数.解 对分别求对的导数得 （常数）.例7 求调和函数 的共轭调和函数.提示 设解析函数 ，故 的共轭调和函数.例8 证明：函数都是调和函数，但不是解析函数.证明： 即u是复平面上的调和函数，v除原点外在复平面上调和。但，即不满足C-R方程，故不是解析函数.练习. 求调和函数 的共轭调和函数.例9 已知 是一个解析函数，试证明 也是解析函数.证 因为是解析函数，所以是的共轭调和函数.又因为，故 也是解析函数.练习：1. 验证下列函数是调和函数,并求出满足指定条件的解析函数 (1), 且; (
10、2) , 且.证明 (1) 因为, 所以, 即是平面上的调和函数. 由解析函数的导数公式: 得 将, 代入上式 整理得 所以 , 又, 得. 故 .(2) 因为, , , 所以 , 即 是平面上的调和函数.由柯西黎曼条件得 - () - ()由()得 代入()得 ,即 , 从而(常数), , 所求解析函数为 .再由条件,可得. 故 .2. 若函数在区域D内解析, 则 .证明 因为, 而在区域D内解析,所以 和都是区域D内的调和函数, 即, 又 , ，于是 .4. 设在复平面上解析,并且满足,试求的表达式.解 由题设条件得 - （1） - （2） 又由柯西黎曼条件得 ， - （3） ， 由解析函
11、数的导数公式: 得 将, 代入整理得 故 .作业讲评：试证柯西-黎曼方程的极坐标形式为, ,且有.证 由于,所以.由.由,代入上述求得的导数公式得.另求(方法不好,麻烦).证明:一对共轭调和函数的乘积为调和函数.证 设是的共轭调和函数，则，具有二阶连续偏导数且.又设 ，则有二阶连续偏导数，且同理可求所以.故 结论成立.设 ，求的值，使为调和函数，并求出解析函数.解 所以 时，为调和函数.当 时，.当 时，.小结：已知调和函数，求解析函数的常用方法又三种：偏积分法（常数变异法），第二型曲线积分法，不定积分法.一般情况下用不定积分法较为简单.易犯错误：求解析函数的方法不得当，运算错误多.讲评作业讲
12、评 试将函数 写成的函数（其中）.解 .确定函数 至少有一个不为零）.解 当时，由为函数的奇点.解析区域为除点的复平面.且.当时，函数在整个复平面处处解析，无奇点.且.例2 问函数 在处有无极限解：函数在全平面除外处处有定义，当时，取沿从原点出发的射线趋于原点, 由于, 所以显然极限值与有关, 故不存在另解 的定义域是全平面除去的区域当时，设则考虑从出发的方向角为的射线，则有，显然对于不同的，上述极限不相同，故 函数在的极限不存在证法三：因为 ，又因为，所以 不存在，故 不存在.练习：证明函数 在处无极限证：极限随的变化而变化，所以 不存在. 所以 不存在.例3 讨论函数 在原点处的极限解 任取从原点出发的一条射线, 由于 故当沿此射线趋于零时.显然极限与射线的方向有关所以不存在.（如图1.20）法二：令则 所以f(z)在z=0无极限.法三：，令沿直线趋于零有随 的变化而变化，所以 不存在.专心-专注-专业
