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1、福建省泉州市子江中学2021年高二数学理联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )A. B. C. D.参考答案:C2. ( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案:B3. 如图,正四面体ABCD的顶点C在平面内,且直线BC与平面所成角为45,顶点B在平面上的射影为点O,当顶点A与点O的距离最大时,直线CD与平面所成角的正弦值等于()ABCD参考答案:A【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题;空间
2、角【分析】由题意,可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大,设此平面为由面面垂直判定定理结合BO,证出过D作DE于E,连结CE,根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH,从而点D到平面的距离等于点H到平面的距离设正四面体ABCD的棱长为1,根据BC与平面所成角为45和正四面体的性质算出H到平面的距离,从而在RtCDE中,利用三角函数的定义算出sinDCE=,即得直线CD与平面所成角的正弦值【解答】解:四边形OBAC中,顶点A与点O的距离最大,O、B、A、C四点共面,设此平面为BO,BO?,过D作DH平面ABC,垂足为H,设正四面体ABCD的棱长为1,则RtHCD中,CH=BC=BO,直
3、线BC与平面所成角为45,BCO=45,结合HCB=30得HCO=75因此,H到平面的距离等于HCsin75=过D作DE于E,连结CE,则DCE就是直线CD与平面所成角DH,且DH?,DH由此可得点D到平面的距离等于点H到平面的距离,即DE=RtCDE中,sinDCE=,即直线CD与平面所成角的正弦值等于故选:A【点评】本题给出正四面体的一条棱与平面成45,在顶点A与B在平面内的射影点O的距离最大时,求直线CD与平面所成角的正弦值,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义与求法等知识,属于中档题4. 如图,在长方形中,为线段上一动点,现将沿折起,使点在面上的射影在直线上
4、,当从运动到,则所形成轨迹的长度为 ( ) A B C D 参考答案:D略5. 下列说法正确的有( )(1)用反证法证明:“三角形的内角中至少有一个不大于”时的假设是“假设三角形的三个内角都不大于;(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的充要条件;(3)用数学归纳法证明,从到,左边需要增乘的代数式为2(2k+1);(4)演绎推理是从特殊到一般的推理,其一般模式是三段论;A.0个 B.1个 C.2个 D.3个参考答案:B6. 若a,b均为大于1的正数,且ab=100,则lga?lgb的最大值是()A0B1C2D参考答案:B【考点】基本不等式【分析】先根据a1,b1判断lga、lgb
5、的符号,再由基本不等式可求得最小值【解答】解:a1,b1,lga0,lgb0lga?lgb()2=()2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga?lgb的最大值是1故选B【点评】本题主要考查基本不等式的应用在应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”的要求7. 若双曲线的离心率为,则其渐近线的斜率为( )A. B. C. D.参考答案:B8. 半径为R的球内接一个正方体,则该正方体的体积是()A2R3 B.R3 C.R3 D.R3参考答案:C略9. 设函数,则 ( )A为的极大值点 B为的极小值点C为的极大值点 D为的极小值点参考答案:D10. 函数f(x)=2x+(x0)有(A)最大
6、值8 (B)最小值8 (C) 最大值4 (D)最小值4参考答案:B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将全体正整数排成一个三角形数阵:12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律,若数2011在第行第个数,则 .参考答案:略12. 椭圆的焦点是F1(3,0)F2(3,0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则椭圆的方程为_参考答案:13. 已知是一次函数,则的解析式为 参考答案:略14. 函数f(x)=lnxx的单调递增区间为 .参考答案:(0,1)函数有意义,则:x0 ,且:f(x)=1 ,由f(x) 0结合函数的定义域可得函
7、数的单调递增区间为(0,1).15. 用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中,当时为了使用归纳假设,对变形正确的是( )A. B. C. D. 参考答案:A试题分析:假设当,能被13整除, 当应化成形式,所以答案为A考点:数学归纳法16. 已知且满足,则的最小值为 参考答案:1817. 的展开式中x2y2的系数为(用数字作答)参考答案:70【考点】二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x、y的幂指数都等于2,求得r的值,即可求得展开式中x2y2的系数【解答】解:的展开式的通项公式为 Tr+1=?(1)r?=?(1)r?,令 8=4=2,求得 r=4,故展开式中x2y2的系数为
8、 =70,故答案为:70三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosCcb. (1)求角A的大小; (2)若a1,面积,求的值参考答案:(1)由acosCcb得 sinAcosCsinCsinB2分又sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC sinCcosAsinC,4分sinC0,cosA,又0A,A.6分(2),所以8分由余弦定理a2b2c22bccosA,得:b2c2bc1=5,10分(bc)2= b2c2 +2bc=13 bc, 12分19. 已知函数
9、f(x)=ax2+bx+c,且(1)求证:a0且;(2)求证:函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,求|x1x2|的范围参考答案:【考点】函数的零点与方程根的关系;二次函数的性质【专题】综合题【分析】(1)根据f(1)=a+b+c=,可得c=ab,结合3a2c2b,可得结论;(2)利用零点存在定理,证明f(0)f(2)0即可;(3)|x1x2|2=(x1 +x2)24x1x2=()2+22,由此可得结论【解答】(1)证明:f(1)=a+b+c=,c=ab3a2c=3a2b,3ab,2c2b,3a4b;若a0,则;若a=0,则0b,0b,不成立
10、;若a0,则,不成立(2)f(0)=c,f(2)=4a+2b+c,f(1)=,=b24ac=b2+4ab+6a20当c0时,f(0)0,f(1)0,所以f(x)在(0,1)上至少有一个零点当c=0时,f(0)=0,f(2)=4a+2b=a0,所以f(x)在(0,2)上有一个零点当c0时,f(0)0,f(1)0,b=ac,f(2)=4a3a2c+c=ac0,所以f(x)在(0,2)上有一个零点综上:所以f(x)在(0,2)上至少有一个零点(3)c=ab,(|x1x2|)2=(x1+x2)24x1x2=b24ac|a|=(+2)2+2因为3b/a,所以(|x1x2|)220. (本小题满分6分)在
11、直角坐标系中,已知点,曲线的参数方程为为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为()判断点与直线的位置关系,说明理由;()设直线与曲线的两个交点为、,求的值.参考答案:21. 已知an是由正数组成的等比数列,a2=2,且a4,3a3,a5成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)数列an+1an的前n项和为Sn,若Sn=2n1(nN*),求实数的值参考答案:【考点】数列的求和;数列递推式【专题】方程思想;定义法;转化法;等差数列与等比数列【分析】(1)根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系求出公比即可,(2)根据等比数列的求和公式利用分组法求出Sn的值,利
12、用对比法进行求解即可【解答】解:(1)a2=2,且a4,3a3,a5成等差数列a4+a5=23a3,即qa3+q2a3=6a3,即q2+q6=0,得q=2或q=3,an是由正数组成的等比数列,q0,即q=2,则an=a2qn2=2?2n2=2n1(2)数列an+1an的前n项和为Sn,Sn=(a2+a3+a4+an+1)(a1+a2+a3+a4+an)=?=2(2n1)(2n1)=(2n1)(2),若Sn=2n1(nN*),Sn=2n1=(2n1)(2),则2=1,则=1【点评】本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算,根据方程组法求出公比是解决本题的关键22. 已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为,求AOB面积的最大值.参考答案:解:()设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为 4分()设,(1)当轴时,5分(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为由已知,得7分把代入椭圆方程,整理得,9分12分当且仅当,即时等号成立当时,综上所述13分当最大时,面积取最大值14分