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1、福建省泉州市子江中学2021年高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）A. B. C. D.参考答案：C2. ( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B3. 如图，正四面体ABCD的顶点C在平面内，且直线BC与平面所成角为45，顶点B在平面上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面所成角的正弦值等于（）ABCD参考答案：A【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题；空间
2、角【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为由面面垂直判定定理结合BO，证出过D作DE于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH，从而点D到平面的距离等于点H到平面的距离设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面所成角为45和正四面体的性质算出H到平面的距离，从而在RtCDE中，利用三角函数的定义算出sinDCE=，即得直线CD与平面所成角的正弦值【解答】解：四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，O、B、A、C四点共面，设此平面为BO，BO?，过D作DH平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则RtHCD中，CH=BC=BO，直
3、线BC与平面所成角为45，BCO=45，结合HCB=30得HCO=75因此，H到平面的距离等于HCsin75=过D作DE于E，连结CE，则DCE就是直线CD与平面所成角DH，且DH?，DH由此可得点D到平面的距离等于点H到平面的距离，即DE=RtCDE中，sinDCE=，即直线CD与平面所成角的正弦值等于故选：A【点评】本题给出正四面体的一条棱与平面成45，在顶点A与B在平面内的射影点O的距离最大时，求直线CD与平面所成角的正弦值，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题4. 如图，在长方形中，为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上
4、，当从运动到，则所形成轨迹的长度为 ( ) A B C D 参考答案：D略5. 下列说法正确的有（ ）（1）用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个不大于”时的假设是“假设三角形的三个内角都不大于；（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充要条件；（3）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为2（2k+1）；（4）演绎推理是从特殊到一般的推理，其一般模式是三段论；A.0个 B.1个 C.2个 D.3个参考答案：B6. 若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga?lgb的最大值是（）A0B1C2D参考答案：B【考点】基本不等式【分析】先根据a1，b1判断lga、lgb
5、的符号，再由基本不等式可求得最小值【解答】解：a1，b1，lga0，lgb0lga?lgb（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga?lgb的最大值是1故选B【点评】本题主要考查基本不等式的应用在应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”的要求7. 若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（ ）A. B. C. D.参考答案：B8. 半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A2R3 B.R3 C.R3 D.R3参考答案：C略9. 设函数，则 （ ）A为的极大值点 B为的极小值点C为的极大值点 D为的极小值点参考答案：D10. 函数f(x)=2x+(x0)有(A)最大
6、值8 (B)最小值8 (C) 最大值4 (D)最小值4参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，若数2011在第行第个数，则 .参考答案：略12. 椭圆的焦点是F1（3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为_参考答案：13. 已知是一次函数，则的解析式为 参考答案：略14. 函数f(x)=lnxx的单调递增区间为 .参考答案：（0，1）函数有意义，则：x0 ，且：f(x)=1 ，由f(x) 0结合函数的定义域可得函
7、数的单调递增区间为（0，1）.15. 用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A试题分析：假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A考点：数学归纳法16. 已知且满足,则的最小值为 参考答案：1817. 的展开式中x2y2的系数为（用数字作答）参考答案：70【考点】二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=?（1）r?=?（1）r?，令 8=4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为
8、 =70，故答案为：70三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosCcb. (1)求角A的大小； (2)若a1，面积，求的值参考答案：(1)由acosCcb得 sinAcosCsinCsinB2分又sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC sinCcosAsinC，4分sinC0，cosA，又0A，A.6分(2)，所以8分由余弦定理a2b2c22bccosA，得：b2c2bc1=5，10分(bc)2= b2c2 +2bc=13 bc， 12分19. 已知函数
9、f（x）=ax2+bx+c，且（1）求证：a0且；（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1x2|的范围参考答案：【考点】函数的零点与方程根的关系；二次函数的性质【专题】综合题【分析】（1）根据f（1）=a+b+c=，可得c=ab，结合3a2c2b，可得结论；（2）利用零点存在定理，证明f（0）f（2）0即可；（3）|x1x2|2=（x1 +x2）24x1x2=（）2+22，由此可得结论【解答】（1）证明：f（1）=a+b+c=，c=ab3a2c=3a2b，3ab，2c2b，3a4b；若a0，则；若a=0，则0b，0b，不成立
10、；若a0，则，不成立（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=，=b24ac=b2+4ab+6a20当c0时，f（0）0，f（1）0，所以f（x）在（0，1）上至少有一个零点当c=0时，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点当c0时，f（0）0，f（1）0，b=ac，f（2）=4a3a2c+c=ac0，所以f（x）在（0，2）上有一个零点综上：所以f（x）在（0，2）上至少有一个零点（3）c=ab，（|x1x2|）2=（x1+x2）24x1x2=b24ac|a|=（+2）2+2因为3b/a，所以（|x1x2|）220. （本小题满分6分）在
11、直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（）判断点与直线的位置关系，说明理由；（）设直线与曲线的两个交点为、，求的值.参考答案：21. 已知an是由正数组成的等比数列，a2=2，且a4，3a3，a5成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）数列an+1an的前n项和为Sn，若Sn=2n1（nN*），求实数的值参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；定义法；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系求出公比即可，（2）根据等比数列的求和公式利用分组法求出Sn的值，利
12、用对比法进行求解即可【解答】解：（1）a2=2，且a4，3a3，a5成等差数列a4+a5=23a3，即qa3+q2a3=6a3，即q2+q6=0，得q=2或q=3，an是由正数组成的等比数列，q0，即q=2，则an=a2qn2=2?2n2=2n1（2）数列an+1an的前n项和为Sn，Sn=（a2+a3+a4+an+1）（a1+a2+a3+a4+an）=?=2（2n1）（2n1）=（2n1）（2），若Sn=2n1（nN*），Sn=2n1=（2n1）（2），则2=1，则=1【点评】本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算，根据方程组法求出公比是解决本题的关键22. 已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线的距离为，求AOB面积的最大值.参考答案：解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为 4分（）设，（1）当轴时，5分（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得7分把代入椭圆方程，整理得，9分12分当且仅当，即时等号成立当时，综上所述13分当最大时，面积取最大值14分
