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1、高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(二)函数1高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(二)函数1二、函数1.映射f:AB的概念。在理解映射概念时要注意:A中元素必须都有象且唯一;B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如(1)设f:MN是集合M到N的映射,下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合(答:A);(2)点(a,b)在映射f的作用下的象是(ab,ab),则在f作用下点(3,1)的原象为点_(答:(2,1);(3)若A1,2,3,4,Ba,b,c,B到A的映射有
2、个,A到B的函数有个则A到B的映射有个,(答:a,b,cR,81,64,81);(4)设集合M1,0,1,N1,2,3,4,5,映射f:MN满足条件“对任意的xM,xf(x)是奇数”,这样的映射f有_个(答:12);(5)设f:xx2是集合A到集合B的映射,若B=1,2,则AB一定是_(答:或1).2.函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。如(1)已知函数f(x),xF,那么集合(x,y)|yf(x),xF(x,y)|x1中所12含元素的个数有个(答:0或1);(2)若函数yx2
3、x4的定义域、值域都2是闭区间2,2b,则b(答:2)3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为yx2,值域为4,1的“天一函数”共有_个(答:9)4.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则):(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数logax中x0,a0且a1,三角形中0A,最大角3,最小角3等。如(1)函数yx4xlgx32的定义域是_
4、(答:(0,2)(2,3)(3,4);(2)若函数ykx7kx24kx33(3)函数f(x)的定义域是a,b,ba0,);4则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_(答:a,a);(4)设函数f(x)lg(ax22x1),若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围(答:a1;0a1)的定义域为R,则k_(答:0,(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。(3)复合函数的定义域:若已知f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出即可;若已知fg(x)的定义域为a,b,求f(x)的定义域,相当于当xa,b时,求g(x)的
5、值域(即f(x)的定义域)。如(1)若函数yf(x)的定义域为,2,则f(log2x)的定义域为_(答:x|21;(2)若函数2x4)f(x21)的定义域为2,1),则函数f(x)的定义域为_(答:1,5)5.求函数值域(最值)的方法:(1)配方法二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间m,n上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系),如(1)求函数yx22x5,x1,2的值域(答:4,8);(2)当x(0,2时,函数1;f(x)ax24(a1)x3在x2时取得最大
6、值,则a的取值范围是_(答:a)2(3)已知f(x)3xb(2x4)的图象过点(2,1),则F(x)f1(x)2f1(x2)的值域为_(答:2,5)(2)换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,如(1)y2sin2x3cosx1的值域为_(答:4,17);(2)y2x1x18的值域为_(答:(3,))(令x1t,t0。运用换元法时,要特别要注意新元t的范围);(3)yn的isxocsnisxocsxx11,2)值域为_(答:;(4)yx49x2的值域为_(答:;1,324)2(3)函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学
7、过函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如求函数y2sin1,1sin2sin1133xy(,(,y,的值域(答:、(0,1)、);x1cos2213(4)单调性法利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,19x5(1x9),ysin2x,y2log3x1的值域为_2x1sinx8011(答:(0,)、,9、2,10);92如求yx(5)数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等,如(1)已知点P(x,y)在圆xy1上,求22y及y2x的取值范围(答:x23322;(2)求函数y(x2)(x8)的值域(答:10,));
8、,、5,5)33(3)求函数yx26x13x24x5及yx26x13x24x5的值域(答:43,)、(26,26))注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在x轴的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在x轴的同侧。(6)判别式法对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式:b33y(0,)型,可直接用不等式性质,如求的值域(答:22kx2x2bxxy2型,先化简,再用均值不等式,如(1)求y的值域(答:xmxn1x211x2(,);(2)求函数y的值域(答:0,)22x3x2mxn
9、mx28xny2型,通常用判别式法;如已知函数ylog3的定义域2xmxnx1为R,值域为0,2,求常数m,n的值(答:mn5)yx2mxnx2x1y型,可用判别式法或均值不等式法,如求y的值域(答:mxnx1(,31,))(7)不等式法利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添(a1a2)2项和两边平方等技巧。如设x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的b1b2取值范围是_.(答:(,04,))。(8)导数法一般适用于高次多项式函数,如求函数f(x)2x34x240x,(答
10、:48)x3,3的最小值。提醒:(1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?(2)函数的最值与值域之间有何关系?6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时,一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同2(x1).(x1)子集上各关系式的取值范围的并集。如(1)设函数f(x),则使得4x1.(x1)f(x)1的自变量x的取值范围是_(答:(,20,10);(2)已知(x0)13,则不等式x(x2)f(x2)5的解集是_(答:(,)f
11、(x)21(x0)7.求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式:f(x)ax2bxc;顶点式:f(x)a(xm)2n;零点式:f(x)a(xx1)(xx2),要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式)。如已知f(x)为二次函数,且f(x2)f(x2),且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式。(答:f(x)12x2x1)22(2)代换(配凑)法已知形如f(g(x)的表达式,求f(x)的表达式。如(1)已知f(1cosx)sinx,求fx若f(x的解析式(答:f(x)x224;(2)2x2,x2,2)11)
12、x22,则函数f(x1)=_(答:x22x3);(3)若函数f(x)是xx定义在R上的奇函数,且当x(0,)时,f(x)x(13x),那么当x(,0)时,f(x)=_(答:x(13x)).这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即f(x)的定义域应是g(x)的值域。(3)方程的思想已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如(1)已知2f(x)2f(x)3x2,求f(x)的解析式(答:f(x)3x);(2)已知f(x)是奇3x1函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=,则f(x)=_(答:2)。x1x1
13、8.反函数:(1)存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值,都有唯一的x值与之对应,故单调函数一定存在反函数,但反之不成立;偶函数只有f(x)0(x0)有反函数;周期函数一定不存在反函数。如函数yx2ax3在区间1,2上存在反函数的充要条3件是A、a,1B、a2,C、a1,2D、a,12,(答:D)(2)求反函数的步骤:反求x;互换x、y;注明反函数的定义域(原来函数的值域)。注意函数yf(x1)的反函数不是yf1(x1),而是yf1(x)1。如设f(x)(x12)(x0).求f(x)的反函数fx1(x)(答:f1(x)1(x1))x1(3)反函数的性质:反函数的定义域是原来函数的值域
14、,反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数f(x)满足条件f(ax3)=x,其中a0,若f(x)的反函数f1(x)的定义域为14,,则f(x)的定义域是_(答:4,7).aa函数yf(x)的图象与其反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称,注意函数yf(x)的图象与xf1(y)的图象相同。如(1)已知函数yf(x)的图象过点(1,1),那2x3么f4x的反函数的图象一定经过点_(答:(1,3);(2)已知函数f(x),x171若函数yg(x)与yf(x1)的图象关于直线yx对称,求g(3)的值(答:);2f(a)bf1(b)a。如(1)已知函数f(x)log3(2),则方程f1(x)41
15、4x的解x_(答:1);(2)设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数ff(4)0,则f1(x),(4)(答:2)互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知fx是R上的增函数,点A1,1,B1,3在它的图象上,f1x是它的反函数,那么不等式f1log2x1的解集为_(答:(2,8);设f(x)的定义域为A,值域为B,则有ff1(x)x(xB),f1f(x)x(xA),但ff1(x)f1f(x)。9.函数的奇偶性。(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)2sin(3x),x25,3为奇函数,其中(0,2),则的值是(答:0);(2)确定函数奇偶性的常用方法