高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(二)函数1

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1、高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(二)函数1高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(二)函数1二、函数1.映射f:AB的概念。在理解映射概念时要注意：A中元素必须都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设f:MN是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(ab,ab)，则在f作用下点(3,1)的原象为点_（答：（2，1）；（3）若A1,2,3,4，Ba,b,c，B到A的映射有

2、个，A到B的函数有个则A到B的映射有个，（答：a,b,cR，81,64,81）；（4）设集合M1,0,1,N1,2,3,4,5，映射f:MN满足条件“对任意的xM，xf(x)是奇数”，这样的映射f有_个（答：12）；（5）设f:xx2是集合A到集合B的映射，若B=1,2，则AB一定是_（答：或1）.2.函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数f(x)，xF，那么集合(x,y)|yf(x),xF(x,y)|x1中所12含元素的个数有个（答：0或1）；（2）若函数yx2

3、x4的定义域、值域都2是闭区间2,2b，则b（答：2）3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为yx2，值域为4，1的“天一函数”共有_个（答：9）4.求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中x0,a0且a1，三角形中0A,最大角3，最小角3等。如（1）函数yx4xlgx32的定义域是_

4、(答：(0,2)(2,3)(3,4)；（2）若函数ykx7kx24kx33（3）函数f(x)的定义域是a,b，ba0，)；4则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_(答：a,a)；（4）设函数f(x)lg(ax22x1)，若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围（答：a1；0a1）的定义域为R，则k_(答：0,（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出即可；若已知fg(x)的定义域为a,b,求f(x)的定义域，相当于当xa,b时，求g(x)的

5、值域（即f(x)的定义域）。如（1）若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为_（答：x|21；（2）若函数2x4）f(x21)的定义域为2,1)，则函数f(x)的定义域为_（答：1,5）5.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间m,n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数yx22x5,x1,2的值域（答：4,8）；（2）当x(0,2时，函数1；f(x)ax24(a1)x3在x2时取得最大

6、值，则a的取值范围是_（答：a）2（3）已知f(x)3xb(2x4)的图象过点（2,1），则F(x)f1(x)2f1(x2)的值域为_（答：2,5）（2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）y2sin2x3cosx1的值域为_（答：4,17）；（2）y2x1x18的值域为_（答：(3,)）（令x1t，t0。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；（3）yn的isxocsnisxocsxx11,2）值域为_（答：；（4）yx49x2的值域为_（答：；1,324）2（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学

7、过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数y2sin1，1sin2sin1133xy(,(,y，的值域（答：、（0,1）、）；x1cos2213（4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，19x5(1x9)，ysin2x，y2log3x1的值域为_2x1sinx8011（答：(0,)、,9、2,10）；92如求yx（5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点P(x,y)在圆xy1上，求22y及y2x的取值范围（答：x23322；（2）求函数y(x2)(x8)的值域（答：10,)）；

8、,、5,5）33（3）求函数yx26x13x24x5及yx26x13x24x5的值域（答：43,)、(26,26)）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。（6）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：b33y(0,）型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：22kx2x2bxxy2型，先化简，再用均值不等式，如（1）求y的值域（答：xmxn1x211x2(,）；（2）求函数y的值域（答：0,）22x3x2mxn

9、mx28xny2型，通常用判别式法；如已知函数ylog3的定义域2xmxnx1为R，值域为0，2，求常数m,n的值（答：mn5）yx2mxnx2x1y型，可用判别式法或均值不等式法，如求y的值域（答：mxnx1(,31,)）（7）不等式法利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添(a1a2)2项和两边平方等技巧。如设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的b1b2取值范围是_.（答：(,04,)）。（8）导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，（答

10、：48）x3,3的最小值。提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同2(x1).(x1)子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数f(x)，则使得4x1.(x1)f(x)1的自变量x的取值范围是_（答：(,20,10）；（2）已知(x0)13，则不等式x(x2)f(x2)5的解集是_（答：(,）f

11、(x)21(x0)7.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)ax2bxc；顶点式：f(x)a(xm)2n；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知f(x)为二次函数，且f(x2)f(x2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式。（答：f(x)12x2x1）22（2）代换（配凑）法已知形如f(g(x)的表达式，求f(x)的表达式。如（1）已知f(1cosx)sinx,求fx若f(x的解析式（答：f(x)x224；（2）2x2,x2,2）11)

12、x22，则函数f(x1)=_（答：x22x3）；（3）若函数f(x)是xx定义在R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)x(13x)，那么当x(,0)时，f(x)=_（答：x(13x)）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。（3）方程的思想已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如（1）已知2f(x)2f(x)3x2，求f(x)的解析式（答：f(x)3x）；（2）已知f(x)是奇3x1函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=,则f(x)=_（答：2）。x1x1

13、8.反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)0(x0)有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数yx2ax3在区间1,2上存在反函数的充要条3件是A、a,1B、a2,C、a1,2D、a,12,（答：D）（2）求反函数的步骤：反求x；互换x、y；注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数yf(x1)的反函数不是yf1(x1)，而是yf1(x)1。如设f(x)(x12)(x0).求f(x)的反函数fx1(x)（答：f1(x)1(x1)）x1（3）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域

14、，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数f(x)满足条件f(ax3)=x，其中a0，若f(x)的反函数f1(x)的定义域为14,，则f(x)的定义域是_（答：4,7）.aa函数yf(x)的图象与其反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称，注意函数yf(x)的图象与xf1(y)的图象相同。如（1）已知函数yf(x)的图象过点(1,1),那2x3么f4x的反函数的图象一定经过点_（答：（1,3）；（2）已知函数f(x)，x171若函数yg(x)与yf(x1)的图象关于直线yx对称，求g(3)的值（答：）；2f(a)bf1(b)a。如（1）已知函数f(x)log3(2)，则方程f1(x)41

15、4x的解x_（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数ff(4)0，则f1(x)，(4)（答：2）互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知fx是R上的增函数，点A1,1,B1,3在它的图象上，f1x是它的反函数，那么不等式f1log2x1的解集为_（答：（2,8）；设f(x)的定义域为A，值域为B，则有ff1(x)x(xB)，f1f(x)x(xA)，但ff1(x)f1f(x)。9.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)2sin(3x)，x25,3为奇函数，其中(0,2)，则的值是（答：0）；（2）确定函数奇偶性的常用方法