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1、五年级奥数教程与训练 02分解质因数 五年级奥数教程与训练 第2讲 分解质因数 【知识要点和基础方法】 1质因数和分解质因数 （1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 （2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得12223223，这时并称2和3是12的质因数。 （3）算术基础定理：任何大于1的整数都能表示成质数的乘积 (4)如果把一样的质因数合并为它的幂，则任一大于1的整数N只能唯一地表成： N=p1r1 .p1r2 .pnrn .（其中质数p1 （5）质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的公约数只有1时，这样两个数
2、的关系称为互质。 （6）分解质因数的方法主要是短除法，（在小学阶段）：譬如分解675这个合数，试除时一般从最小质数开始 所以，6753352 2、合数的约数个数与合数的约数和 以前的例子为例可知： （1）675的约数有 1、 2、 5、 9、 15、 27、 45、7 5、1 35、2 25、675共12个，而675的质因数分解式为：6753352 其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积： （3+1）（2+1）12 （2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+675124
3、0 但由于675的质因数分解式为6753352，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系： 1240（1+3+32+33）（1+5+52）40311240 我们再举一个例子，比方18000243253，不妨我们自己验证一下： （1） 合数18000的所有约数的个数为：（4+1）（2+1）（3+1）60个 （2） 合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）（1+3+32）（1+5+52+53）311315662868 当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。 定理 假设自然数N分解质因数的结果是： N=p1r1
4、 .p1r2 .pnrn 其中质数p1 .p2 .pN为互补一样的质数， r1，r2 。，rn 为正整数，分别是p1,，p2 。，pn 的。指数，那么 （1） N的约数个数是：（r1+1）（r2+1）.（rn+1） （2） N的所有约数的和是：（1+p1 +p12 +p13 +.+ p1r1 ）（1+p2+p22 +p23 +.+ p2r2 ）.（1+pn +pn2 +pn3 +.+ pnrn ） 特别地，当N只有一个或假设干个一样的质因数（即N=pr ，p 为质数，r为自然数）时，N的约数有r+1个，所有约数的和为：1+p +p2 +p3 +.+ pr 3、定理 设合数N只能分解成n个不同质
5、数的积，则有约数2n 个 简单归纳说明如下： 设p1 ， p2 .pN为n个互不一样的质数，于是： 当Np1时，N有约数2个，1和p1 ； 当Np1 p2时，N有约数4（即22）个，1，p1 ， p2 和p1 p2 当Np1 p2 p3时，N有约数8（即23）个，1，p1 ， p2 ，p3，p1 p2，p1 p3，p2 p3，p1 p2 p3 当Np1 p2 p3.pn时，N有约数（即2n）个 4、定理：如果一个数是某一质数的平方，那么这个数只有3个约数，反过来，如果一个数只有3个 1 约数，那么这个数一定是某个质数的平方。举例说明如下： 9（即32）的约数有3个分别是1，9和3； 25（即5
6、2）的约数为3个分别是1，25和5； 49（即72）的约数为3个分别是1，49和7等等 5、定理 （1）如果一个数为一个完全平方数，那么这个数的约数个数一定是奇数；反之，如果一个数的约数个数是奇数，那么这个数一定是一个完全平方数 （2）如果一个数不是完全平方数，那么这个数的约数个数一定是偶数；反过来，如果一个数的约数个数是偶数，那么这个数一定不是完全平方数。举例说明如下： 完全平方数36622232，所以36的约数个数为（2+1）（2+1）9，是奇数。 非完全平方数50225252，所以50的约数个数为（1+1）（2+1）6，是偶数。 【例题精讲】 例1 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个
7、大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？ 解 我们先把5040分解质因数得： 5040243257 再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积： 24325778910 答 这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁 例2 求100以内有6个约数的数有那些？ 分析 因为一个数N 的约数个数等于这个数的各个不同质因数的个数加1的连乘积，而6只能写成（5+1）或（1+1）（2+1）， 由此可知，此数可能是Np5或者Np1p22 当N= p5 时，因为N要在100以内，所以P只能取2，由于25 32，相对应的N是32 当Np1p22 ，假设取p1 取2，p2 可取 3、 5、7
8、，则相对应的N有18，50，98。 假设取p1 取3，p2 可取 2、5，相对应的N有12，75 假设取p1 取5，p2 可取 2、3，则相对应的N有20，45 假设取p1 取7，p2 可取 2、3，则相对应的N有28，63 假设取p1 取11，p2 可取 2、3，则相对应的N有44，99 假设取p1 取13，p2 可取2，则相对应的N有52 假设取p1 取17，p2 可取2，则相对应的N有68 假设取p1 取19，p2 可取2，则相对应的N有76 假设取p1 取23，p2 可取2，则相对应的N有92 解 因为这个数有6个约数，由于：6（1+1）（2+1）或65+1 故在100以内所求的数可以
9、是：25 32，232 18，252 50，272 98，322 12，352 222222275，52 20，53 45，72 28，73 63，112 44，113 99，132 52，1722 68，1922 76，2322 92，共16个 答 100以内有6个约数的数有32，18，50，98，12，75，20，45，28，63，44，99，52，68，76，和92共16个。 例3 下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式 abcd1995 分析：先将1995分解质因数得：199535719 再将质因数适当搭配，使之转化成一个三位数与一个一位数相乘的形式，且三位数的三个数字各不一
10、样即可。 解：因为199535719366553997285，明显只有7285符合要求。 答：所求算式是28571995， 例4 将下列八个数：15，18，21，22，42，44，50，60 分为个数相等的两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分法？ 2 分析：将所给的每一个数分解质因数，并分为个数相等的两组使各组所含一样质因数的个数一样多 解 1535，18232，2137，22211，42237，442211，50252，602235 这八个数乘积是：28365472112 因此，每组数的乘积应为：243352711 所以，这两组数应为：15，44，21，60 及18，22，42，50，或者为
11、15，22，42，60，及18，44，21，50 每一组数的积的质因数分解式均为（1） 例5.A=616263868788.问A能否被6188整除？ 分析：可以先将6188分解质因数，61882271317，接下来再看看A是否含有与6188一样的因数。 解 61882271317，而 6379，65513，681741722 于是6365682271317（95）618845。所以，6188能整除A 例6.小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？ 分析：由题意可设小明家的电话号码是abcabc0 解 设电话号码为ab
12、cabc0 abcabc0abc1001102571113abc 因为电话号码是连续七个质数的乘积，而abc是三位数，故abc31719969，故小明家电话号码是9699690 例7.有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？ 分析 因为87+1（1+1）（3+1）（1+1）（1+1）（1+1），另外，此题要求这个自然数的个位是零，它必须含有质因数2和5，不能只有一个指数为7的质因数，所以这个约数的个数8只能写成：（1+1）（3+1）或（1+1）（1+1）（1+1） 可求解如下： 解 因为87+1（1+1）（3+1）（1+1）（1+1）（1+1），又因为这个自然数必含2，
13、5这两个不同的质因数，又要求最小，所以这个自然数应为23530 答：个位是零又有8个约数的最小自然数是30 在这一讲中，我们研究了一个数的约数个数，这些约数的和的求法，同时我们还研究了n个不同质数相乘的积约数个数为2n，并且知道质数的平方的约数只有三个，完全平方数的约数个数是奇数，非完全平方数的约数个数是偶数，应用这些知识，我们可以解决许多问题。 【课后练习题】 1、把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出他们分别有多少各两位数的约数 （1）146；（2）255；（3）360;(4)400 2、已知自然数a有2个约数，那么3a有多少个约数？ 3、165有多少个约数？这些约数的和是的多少？ 4、有
14、9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？ 5、三个连续自然数的乘积是120，求这三个数 6、小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910”。你能算出小明的名次、年龄与他这次考试分数吗？ 7、学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大1岁，四个人的年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少？ 8、在算式ABCD1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母所代表的数字的和 9、自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值 10、如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数都能被30整除，求这两个数 3 11、一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少？ 12五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄 13、求1155的两位约数中最大的一个是多少？ 14、三个自然数a、b、c，已知ab30、bc 35、ac42，求abc是多少？ 15、将750元奖金平均分给假设干获奖者，如果每人所的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数
