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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比(1)，则P点的轨迹，是以定比内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构
2、造母子三角形相似例题1、问题提出：如图1，在RtABC中，ACB90，CB4，CA6，C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD1，则有，又PCDBCP，PCDBCP，PDBP，AP+BPAP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 （3）拓展延伸：已知扇形COD中，COD90，OC6，OA3，OB5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD
3、；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD，则有，可证PCDACP，得到PDAP，即：AP+BPBP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE6，连接PE、OP，可证OAPOPE，得到EP2PA，得到2PA+PBEP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值【解答】解：（1）如图1，连结AD，AP+BPAP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在RtACD中，CD1，AC6，AD，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD，PCDACP，PCDACP，PD
4、AP，AP+BPBP+PD，同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE6，OEOC+CE12，连接PE、OP，OA3，AOPAOP，OAPOPE，EP2PA，2PA+PBEP+PB，当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE13【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出PCDACP和OAPOPE，也是解本题的难点例题2、问题背景 如图1，在ABC中，BC4，AB2AC问题初探 请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB ，AC 问题再探 如图
5、2，在AC右侧作CADB，交BC的延长线于点D，求CD的长问题解决 求ABC的面积的最大值【分析】问题初探：设ACx，则AB2x，根据三角形三边间的关系知2xx4且2x+x4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；问题再探：设CDa、ADb，证DACDBA得，据此知，解之可得；问题解决：设ACm、则AB2m，根据面积公式可得SABC2m，由余弦定理可得cosC，代入化简SABC，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得【解答】解：问题初探，设ACx，则AB2x，BC4，2xx4且2x+x4，解得：x4，取x3，则AC3、AB6，故答案为：6、3；问题再探，CADB，DD，D
6、ACDBA，则，设CDa、ADb，解得：，即CD；问题解决，设ACm、则AB2m，根据面积公式可得SABCACBCsinC2msinC2m，由余弦定理可得cosC，SABC2m2m由三角形三边关系知m4，所以当m时，SABC取得最大值【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质例题3、如图，已知 AC6，BC8，AB10，C的半径为 4，点 D 是C上的动点，连接 AD， BD，则的最小值为_【解答】例题4、在 ABC中，AB=9，BC=8，ABC=60，A 的半径为 6，P是
7、A上的动点， 连接PB，PC ，则3PC+2PB的最小值为_【解答】21练习1如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则AP+BP的最小值是 【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK由POKAOP，可得，推出PKPA，在PBK中，PB+PKBK，推出PB+PAPB+PK的最小值为BK的长【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BKOP2，OA4，OK1，POKAOP，POKAOP，PKPA，PB+PAPB+PK，在PBK中，PB+PKBK，PB+PAPB+PK的最小值为BK的长，B（4，4），K（1，0），BK5故答案为5【点
8、评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题2如图，正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，P为B上的动点，则PD+PC的最小值等于 【分析】在BC上截取BE1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC4CD，BP2，EC3，可证PBECBP，可得PEPC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，【解答】解：如图，在BC上截取BE1，连接BP，PE，正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，BC4CD，BP2，EC3，且PB
9、EPBEPBECBPPEPCPD+PCPD+PE当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，PD+PC最小值为DE5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键3如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，B的半径为2，P是B上一动点，则PD+PC的最小值为 ；PD+4PC的最小值为 【分析】如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE1只要证明PBECBP，可得，推出PD+PCPD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PDDE即可解决问题；连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE，连接EC，
10、作EFBC于F只要证明PBEDBP，可得，推出PEPD，推出PD+4PC4（PD+PC）4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PCEC即可解决问题；【解答】解：如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE1PB24，BEBC4，PB2BEBC，PBECBP，PBECBP，PD+PCPD+PE，PE+PDDE，在RtDCE中，DE5，PD+PC的最小值为5连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE，连接EC，作EFBC于FPB24，BEBD44，BP2BEBD，PBEPBD，PBEDBP，PEPD，PD+4PC4（PD+PC）4（PE+PC），PE+PCEC，在RtEFC中，EF，FC，EC
11、，PD+4PC的最小值为10故答案为5，10【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题4如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC1，BD2，P为上一动点，求PC+PD的最小值【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小，根据PC+PDPM+PDDMADAM即可计算【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，ABBD4，BD是切线，ABD90，BADD45，AB是直径，APB90，PABPBA45，PA
12、PB，POAB，ACPO2，ACPO，四边形AOPC是平行四边形，OAOP，AOP90，四边形AOPC是正方形，PMPC，PC+PDPM+PDDM，DMCO，此时PC+DP最小ADAM2【点评】本题考查切线的性质、轴对称最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型5如图，在RtABC中，A30，AC8，以C为圆心，4为半径作C（1）试判断C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是C上一动点，点D在AC上且CD2，试说明FCDACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出E
13、F+FA的最小值【分析】（1）结论：相切作CMAB于M，只要证明CM4，即可解决问题；（2）由CF4，CD2，CA8，推出CF2CDCA，推出，由FCDACF，即可推出FCDACF；（3）作DEAB于E，交C于F由FCDACF，可得，推出DFAC，推出EF+AFEF+DF，所以欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值；【解答】（1）解：结论：相切理由：作CMAB于M在RtACM中，AMC90，CAM30，AC8，CMAC4，O的半径为4，CMr，AB是C的切线（2）证明：CF4，CD2，CA8，CF2CDCA，FCDACF，FCDACF（3）解：作DEAB于E，交C于FFCDACF，DFAC，EF+AFEF+DF，欲求E
