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1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题( 本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)第 4页（ A） f导.(0)2（B） ） f(0)1 （ C） f(0)0（ D）f ( x ) 不可（A）( x)与( x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（ B）( x)与( x) 是等价无穷小；（C） ( x) 是比(x) 高阶的无穷小；（ D） (x) 是比(x)高阶的无穷小 .x1. 若F ( x)(2tx) f0( t )dt ，其中f ( x ) 在区间上 (1,1) 二阶可导且 f( x )0 ，则（）.（A） 函数（B） 函数F ( x) 必在 xF ( x) 必在 x0 处取得极大
2、值；0 处取得极小值；（C） 函数的拐点；F (x) 在 x0 处没有极值， 但点 (0, F (0)为曲线yF ( x)（ D）函数yF (x) 的拐点。2xF (x) 在 x2x0 处没有极值，点(0,2F (0)也不是曲线（ A） 2（ B）2（ C） x1（ D） x2 .二、填空题（本大题有4 小题，每小题4 分，共 16 分）三、解答题（本大题有5 小题，每小题8 分，共 40 分）2. 设函数yy( x) 由方程exysin( xy)1确定，求y ( x ) 以及y (0) .g( x )1f ( xt)dtlimf ( x)A3. 设函数f ( x) 连续，0，且x0x， A
3、为常数.求g (x) 并讨论g ( x) 在 x0 处的连续性 .4. 求微分方程 xy2 yx lnx 满足y(1)19 的解.四、解答题（本大题10 分）5. 已知上半平面内一曲线yy( x )( x0) ，过点 (0,1)，且曲线上任一点M ( x0 , y0 )处切线斜率数值上等于此曲线及x 轴、 y 轴、直线 xx0 所围成面积的2 倍及该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10 分）6. 过坐标原点作曲线ylnx 的切线，该切线及曲线yln x及 x轴围成平面图形D.(1) 求 D 的面积 A； (2)求 D 绕直线 x =e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题
4、有2 小题，每小题4 分，共 8 分）7. 设函数qf ( x ) 在0,1 上连续且单调递减，证明对任意的 q1 0, 1 ，f ( x )d xqf( x) dx00.8. 设 函 数f ( x)在0,上 连 续 ， 且f ( x ) dx00，f ( x ) cos x dx00. 证明：在0,内至少存在两个不同的点x1 ,2 ，使f (1 )f (2 )0. （提示：设F ( x )f ( x )dx0）解答一、单项选择题 ( 本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 1、D2 、A3、C4 、C二、填空题（本大题有4 小题，每小题4 分，共 16 分）1cosx265.e.
5、 6.()c2x.7.2 .8.3.三、解答题（本大题有5 小题，每小题8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导10. 解：ux 77 x 6dxdu1f ( x )dx0xex dx12 xx 2 dx11. 解：33012. 解：由f (0)0 ，知xg(0)0 。xf ( x )lim g ( x)limf (u)du0AAAx0x0dy2 yx 2ln x22 ，g ( x ) 在 x0 处连续。13. 解：dxx四、解答题（本大题10 分）x14. 解：由已知且y2 0 yd xy ，将此方程关于x 求导得y2 yyx特征方程：r 2r20 解出特征根： r11,r 22.其通解
6、为yC 1eC e 2 x212C2 ,C1代入初始条件y(0)y (0)1 ，得33故所求曲线方程为：y2 e x31 e2x3五、解答题（本大题10 分）15. 解：（ 1 ）根据题意，先设切点为( x0 ,lnx 0 )，切线方程：yln x 01 ( xx 0x 0 )y1 x由于切线过原点，解出1x 0e ，从而切线方程为：e1A(e y则平面图形面积0ey)dye1 21V1e 2（ 2）三角形绕直线 x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 3曲线 ylnx 及 x 轴及直线 x =e 所围成的图形绕直线x =e 一周所得旋转体体积为V2D绕 直 线x=e旋 转 一 周 所 得
7、旋 转 体 的 体 积VV1V2( 5e2612e3)六、证明题（本大题有2 小题，每小题4 分，共 12 分）q1qq1f ( x)d xqf(x)dxf (x)d xq(f ( x)d xf(x)dx)16. 证明：0000q故有：q1f ( x )d xqf( x ) dx00证毕。x证：构造辅助函数：F ( x )f ( t)dt, 0x0。其满足在 0, 上连续，在( 0,) 上可导。F( x )f ( x ) ，且F (0 )F ()00由题设，有f ( x )cos xdx0cos xdF0( x )F ( x) cos x |0sin x0F ( x)dx，F ( x) sin有 0xdx0，由积分中值定理， 存在(0,) ，使 F () sin0即 F ()0综上可知F (0)F ()F ()0,( 0,) . 在区间0, , 上分别应用罗尔定理，知存在1( 0,) 和 2(,) ，使F (1 )0 及 F(2 )0 ，即f (1 )f (2 )0 .
