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1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题( 本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)第 4页( A) f导.(0)2(B) ) f(0)1 ( C) f(0)0( D)f ( x ) 不可(A)( x)与( x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小;( B)( x)与( x) 是等价无穷小;(C) ( x) 是比(x) 高阶的无穷小;( D) (x) 是比(x)高阶的无穷小 .x1. 若F ( x)(2tx) f0( t )dt ,其中f ( x ) 在区间上 (1,1) 二阶可导且 f( x )0 ,则().(A) 函数(B) 函数F ( x) 必在 xF ( x) 必在 x0 处取得极大
2、值;0 处取得极小值;(C) 函数的拐点;F (x) 在 x0 处没有极值, 但点 (0, F (0)为曲线yF ( x)( D)函数yF (x) 的拐点。2xF (x) 在 x2x0 处没有极值,点(0,2F (0)也不是曲线( A) 2( B)2( C) x1( D) x2 .二、填空题(本大题有4 小题,每小题4 分,共 16 分)三、解答题(本大题有5 小题,每小题8 分,共 40 分)2. 设函数yy( x) 由方程exysin( xy)1确定,求y ( x ) 以及y (0) .g( x )1f ( xt)dtlimf ( x)A3. 设函数f ( x) 连续,0,且x0x, A
3、为常数.求g (x) 并讨论g ( x) 在 x0 处的连续性 .4. 求微分方程 xy2 yx lnx 满足y(1)19 的解.四、解答题(本大题10 分)5. 已知上半平面内一曲线yy( x )( x0) ,过点 (0,1),且曲线上任一点M ( x0 , y0 )处切线斜率数值上等于此曲线及x 轴、 y 轴、直线 xx0 所围成面积的2 倍及该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10 分)6. 过坐标原点作曲线ylnx 的切线,该切线及曲线yln x及 x轴围成平面图形D.(1) 求 D 的面积 A; (2)求 D 绕直线 x =e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题
4、有2 小题,每小题4 分,共 8 分)7. 设函数qf ( x ) 在0,1 上连续且单调递减,证明对任意的 q1 0, 1 ,f ( x )d xqf( x) dx00.8. 设 函 数f ( x)在0,上 连 续 , 且f ( x ) dx00,f ( x ) cos x dx00. 证明:在0,内至少存在两个不同的点x1 ,2 ,使f (1 )f (2 )0. (提示:设F ( x )f ( x )dx0)解答一、单项选择题 ( 本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 1、D2 、A3、C4 、C二、填空题(本大题有4 小题,每小题4 分,共 16 分)1cosx265.e.
5、 6.()c2x.7.2 .8.3.三、解答题(本大题有5 小题,每小题8 分,共 40 分)9. 解:方程两边求导10. 解:ux 77 x 6dxdu1f ( x )dx0xex dx12 xx 2 dx11. 解:33012. 解:由f (0)0 ,知xg(0)0 。xf ( x )lim g ( x)limf (u)du0AAAx0x0dy2 yx 2ln x22 ,g ( x ) 在 x0 处连续。13. 解:dxx四、解答题(本大题10 分)x14. 解:由已知且y2 0 yd xy ,将此方程关于x 求导得y2 yyx特征方程:r 2r20 解出特征根: r11,r 22.其通解
6、为yC 1eC e 2 x212C2 ,C1代入初始条件y(0)y (0)1 ,得33故所求曲线方程为:y2 e x31 e2x3五、解答题(本大题10 分)15. 解:( 1 )根据题意,先设切点为( x0 ,lnx 0 ),切线方程:yln x 01 ( xx 0x 0 )y1 x由于切线过原点,解出1x 0e ,从而切线方程为:e1A(e y则平面图形面积0ey)dye1 21V1e 2( 2)三角形绕直线 x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则 3曲线 ylnx 及 x 轴及直线 x =e 所围成的图形绕直线x =e 一周所得旋转体体积为V2D绕 直 线x=e旋 转 一 周 所 得
7、旋 转 体 的 体 积VV1V2( 5e2612e3)六、证明题(本大题有2 小题,每小题4 分,共 12 分)q1qq1f ( x)d xqf(x)dxf (x)d xq(f ( x)d xf(x)dx)16. 证明:0000q故有:q1f ( x )d xqf( x ) dx00证毕。x证:构造辅助函数:F ( x )f ( t)dt, 0x0。其满足在 0, 上连续,在( 0,) 上可导。F( x )f ( x ) ,且F (0 )F ()00由题设,有f ( x )cos xdx0cos xdF0( x )F ( x) cos x |0sin x0F ( x)dx,F ( x) sin有 0xdx0,由积分中值定理, 存在(0,) ,使 F () sin0即 F ()0综上可知F (0)F ()F ()0,( 0,) . 在区间0, , 上分别应用罗尔定理,知存在1( 0,) 和 2(,) ,使F (1 )0 及 F(2 )0 ,即f (1 )f (2 )0 .