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1、. . .3.2 向量组的线性相关性教学目的：理解向量组的线性相关、线性无关的定义；掌握向量组的相序相关性的判定定理教学重点：掌握向量组的相序相关性的判定定理教学难点：矩阵的秩及向量组的秩教学过程：复习引入1.什么是向量？定义1 个数组成的有序数组或,称为一个维向量,简称向量。 一般用小写的粗黑体字母表示,如。这节课我们来学习向量组的线性相关性。新课讲授：一、向量组线性相关性的定义定义5对于向量组,如果存在不全为零的数,使得 3-3称向量组线性相关.反之,如果只有在时3-3式才成立,就称向量组线性无关.注意：1.若线性无关,则只有当,才有.2.对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.3.向量
2、组只包含一个向量时,若则说线性相关,若,则说线性无关.4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.5.对于含有两个向量向量组,它线性相关的充要条件的两向量的分量对应成比例,几何意义是两向量共线如图3.1；三个向量相关的几何意义的三向量共面。 由两个 2 维向量构成的向量组A: a1 , a2 ,线性相关的几何意义是a1 , a2 共线. 在直线y =2x上取三点M1, M2 , M3 , 作三个向量: ,。显然, 这三个向量中的任意两个向量构成的向量组都是线性相关的. 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的几何意义是这三个向量共面. 如给定平面p : x+y+z=3. 在p上取三点: M1 ,
3、M2 , M3 , 作三个向量: ,向量组a1 , a2 , a3 线性相关,因为 2a1 -a2 -a3 = 0. 4维向量组线性相关的几何意义该向量组所对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的四个平面交于同一条直线. 例3 判断向量组的线性相关性。解 设任意的常数,都有所以,当且仅当 才有 因此,线性无关.称为基本单位向量组.例4 判断向量组的线性相关性.解 设任意的常数,都有所以,当且仅当,才有 .由于 ,满足上面方程组,因此,所以线性相关.例5设向量组线性无关,又,试证明也线性无关.证明 设 ,即,.由线性无关知,解此方程组,可以得到非零解,于是线性相关.二、线性表示线性组合除了根据
4、定义来判定向量组的线性相关性外,还有什么其他判定方法呢？在我们讲向量组线性相关的判定定理之前,我们先学习线性表示线性组合的定义。定义6 给定向量和向量组,如果存在一组数,使得,则称为向量组的一个线性组合,或者说可由向量组线性表示,称为组合系数。例6 设,试问能否由线性表示？若能写出具体表达式。解 令 于是得线性方程组 因为 ,由克拉默法则求出,所以 ,因此,能由线性表示。例7 设,试问能否由,线性表示？解 令 ,于是得方程组由第一个方程得,代入第二个方程得,但不满足第三个方程,故方程组误解,所以不能由,线性表示。三、线性相关性的判定定理1 向量组线性相关的充分必要条件是：中至少有一个向量可由其
5、余个向量线性表示.证明 设中至少有一个向量可由其余个向量线性表示,不妨设可由线性表示,即,于是,显然,不全为0,故线性相关.反过来,设线性相关,则存在不全为零的数,使,不妨设,于是,即可由线性表示.该定理的逆否命题：向量组线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.注：若令元向量,则线性无关.任何一个元向量都可由线性表示,即.定理2 若向量组线性无关,而线性相关,则可由唯一线性表示.证明 因为线性相关,所以存在不全为零的数,使得,可以断定否则,与线性无关矛盾.于是可由线性表示,即.这种表示法是唯一的,因若,则,由于线性无关,必有,即,所以由线性表示的表示法是唯一的.将一个
6、向量组中的某些向量组成的向量组称为原向量组的部分组。定理3 有一部分组线性相关的向量组一定线性相关.证明设向量组有一部分组线性相关,不妨设这个部分组为,则有不全为零的数,使得.从而不全为零的数,使得,故线性相关.推论 含有零向量的向量组必线性相关.该定理的逆否命题是：如果线性无关,则其任一部分向量组成的向量组也线性无关.定理4设为的一个排列,和为两个向量组,其中,即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量,则这两个向量组有相同的线性相关性.证明 对任意的常数,注意到下面两个列向量定理5 在维向量组的各向量中,添上个分量变成维向量组,如果线性相关,那么也线性相关； 如果线性无关,那么也线性无关.证明
7、 对列向量来证明定理。设,如果线性相关,就有一个非零的矩阵,使.从而 .因此也线性相关. 利用和反证法容易证明也成立.定理6 设是一个阶方阵,则的行向量组线性相关的充分必要条件是.证明 设,矩阵的列向量组为：,令 3-4即,则 线性相关存在一组不全为零的实数,使得式3-4成立,即齐次线性方程组 3-5 有非零解存在.由第一章定理5的推论及其注解知,3-5式存在非零解.推论 阶方阵可逆的行向量组线性无关.例8 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：；.解 由于,因此的行向量组线性无关； 由于,因此的行向量组线性相关.例9 判断向量组,是否线性相关.解 以为行向量组得到3阶方阵 .由于,故由定理6知
8、线性相关.定理7 当时,个维向量必线性相关.证明 设为维向量组,对每个添加个零分量得到维向量组易知构成维方阵的行列式等于0.由定理6知线性相关,从而由定理5知线性相关.推论 如果个维向量组必线性相关.课堂小结1、如何正确理解向量组的线性相关的定义？线性相关、线性无关是两个对立的概念,它们之间的不同之处主要在于：线性相关的向量组存在系数不全为的线性组合是零向量,而线性无关的向量组只有系数全为零的线性组合是零向量；线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示,而线性无关的向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示；以线性相关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组存在非零解,而以线性无关的向量
9、组为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解.2、怎样判断向量组的线性相关性？方法1：利用定义判断。这是判定向量组的线性相关性的基本方法,既适用于分量已知的向量组,也适用于分量未知的向量组。方法2：利用行列式判断。这种方法仅适用于向量组向量的个数与向量的维数相等的情形。设是个维向量,以为列向量组成矩阵,则线性相关。作业布置 习题三 4 1、3；5；6.定理4 设元向量,则向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解.其中, .证明 设,即,于是,亦即.如果线性相关,则不全为零.即方程组有非零解.反之,如果有非零解,则不全为零,从而线性相关.该定理的逆否命题是：线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解.在该定理中,若,则必线性相关注意到个元向量的向量组必线性相关,从而方程组必有非零解.9 / 9
