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1、6.5 能量法基础1、变形是指结构原有形状的变化。2、位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。位移包括线位移和角位移两种。1）线位移是指结构上某点沿直线方向相对于原位置移动的距离，结构上两点之间沿两点连线方向相对位置的改变量，称为相对线位移；2）角位移是指杆件某截面相对于原位置转动的角度，结构上两个截面相对转动的角度称为相对角位移。 变形和位移6.5.1 作用在弹性杆件上的力所作的功n外力的作用下将产生变形，在这一过程中，外力将在杆件相应的位移上作功。n外力作功分为常力作功和变力作功两种形式。6.5.2 杆件的弹性应变能n弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力所作的功将转变为储存于弹
2、性体内的能量。而当外力逐渐减小时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内的能量被释放而作功。n这种因弹性体变形而储存的能量称为弹性应变能。n储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功。 若轴轴力沿轴线为变轴线为变 量，的微段杆内所储储存的应变应变能 梁弯曲时的应变能 则可先计算长为6.5.3 互等定理n1、功的互等定理能量守恒原理，可推导得出线性弹性体的互等定理，常用的是功的互等定理和位移互等定理。 力系在力系引起的位移上所作的功，等于力系在力系引起的位移上所作的功。推导：2、位移互等定理力在作用点处处所引起的与相对应对应 的位移在数值上等于力在作用点处处所引起的与相对应对应 的位移当当时时，
3、所产产生的位移称为单为单 位位移，特用来表示，则则此时时的位移互等定理可写成 在弹性范围内在弹性范围内, ,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量的能量, ,称为弹性变形能称为弹性变形能, ,简称变形能简称变形能. .一、能量法一、能量法三、变形能三、变形能二、外力功二、外力功 固体在外力作用下变形固体在外力作用下变形, ,引起力作用点沿力作用方向位移引起力作用点沿力作用方向位移, ,外力因此而做功外力因此而做功, ,则成为外力功则成为外力功. . 利用功能原理利用功能原理 V V = = WW 来求解可变形固体的位移来求解可变形固体的位移, ,变形
4、和内力变形和内力等的方法等的方法. .总结 可变形固体在受外力作用而变形时可变形固体在受外力作用而变形时, ,外力和内力均将外力和内力均将作功作功. . 对于弹性体对于弹性体, ,不考虑其他能量的损失不考虑其他能量的损失, ,外力在相应位外力在相应位移上作的功移上作的功, ,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能在数值上就等于积蓄在物体内的应变能. . V V = = WW四、功能原理四、功能原理五、杆件变形能的计算五、杆件变形能的计算 1. 1.轴向拉压的变形能轴向拉压的变形能 此此外力功外力功的增量为：的增量为： 当拉力为当拉力为F F1 1 时时, ,杆件的伸长为杆件的伸长为 l l1 1
5、当再增加一个当再增加一个d dF F1 1时时, ,相应的变形相应的变形增量为增量为d(d(l l1 1) )FFll lFFOll1dl1dF1F1积分得积分得: : 根据功能原理根据功能原理 当轴力或截面发生变化时当轴力或截面发生变化时: : V V = = WW , , 可得以下变形能表达式可得以下变形能表达式 当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：2.2.扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能或l l MMe eMMe e MMe en n纯弯曲纯弯曲n n横力弯曲横力弯曲3.3.弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能MMe eMMe eMMe e MMe e4.4.组合变形的变形能组合
6、变形的变形能截面上存在几种内力截面上存在几种内力, ,各个内力及相应的各个位移相互独立各个内力及相应的各个位移相互独立, ,力独立作用原理成立力独立作用原理成立, ,各个内力只对其相应的位移做功各个内力只对其相应的位移做功. . 六、变形能的普遍表达式六、变形能的普遍表达式F F- -广义力广义力( (包括力和力偶包括力和力偶) ) - -广义位移广义位移( (包括线位移和角位移包括线位移和角位移) )B B C C F3BCF2AF1 假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值零增致最后值. . 对于线性结构对于线性结
7、构, ,位移与荷载之间是线性关系，任一广位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移义位移, ,例如例如 2 2可表示为可表示为F3ABCF1F2B B C C1 1F F1 1, ,C C2 2F F2 2, ,C C3 3F F3 3 分别表示力分别表示力F F1 1 , , F F2 2, , F F3 3 在在 C C 点引起的竖向位移点引起的竖向位移. . C C1 1, ,C C2 2, ,C C3 3 是比例常数是比例常数. .F F3 3/ /F F2 2在比例加载时在比例加载时也是常数也是常数F F1 1/ /F F2 2和和 2 2 与与 F F2 2 之间的关系是线性的之间的关
8、系是线性的. . 同理同理, , 1 1 与与 F F1 1, , 3 3 与与F F3 3 之间的关系也是线性的之间的关系也是线性的. . 在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iF Fi iF3ABCF1F2B B 克拉贝隆原理（只限于线性结构）克拉贝隆原理（只限于线性结构）F Fi ii七、变形能的应用七、变形能的应用 1. 1.计算变形能计算变形能 2. 2.利用功能原理计算变形利用功能原理计算变形 例题例题1 1 试求图示悬臂梁的变形能试求图示悬臂梁的变形能, ,并利用功能原理求自由端并利用功能原理求自由端B B的挠度的挠度. .ABFlx解
9、：解：由由V V =W =W 得得例题例题2 2 试求图示梁的变形能试求图示梁的变形能, ,并利用功能原理求并利用功能原理求C C截截面的挠度面的挠度. .ABCFx1x2abl解：解：由由V V =W =W 得得例题例题3 3 拉杆在线弹性范围内工作拉杆在线弹性范围内工作. .抗拉刚度抗拉刚度EIEI , ,受到受到F F1 1和和F F2 2 两个力作用两个力作用. .(1)(1) 若先在若先在 B B 截面加截面加 F F1 1, ,(2)(2) 然后在然后在 C C 截面加截面加 F F2 2; ;(2)(2) 若先在若先在 C C 截面加截面加 F F2 2, ,(3)(3) 然后在
10、然后在 B B 截面加截面加 F F1 1. . 分别计算两种加力方法拉杆的应变能分别计算两种加力方法拉杆的应变能. .ABCabF1F2（1 1）先在）先在 B B 截面加截面加 F F1 1, ,然后在然后在 C C 截面加截面加 F F2 2ABCabF1 （a a）在）在 B B 截面加截面加 F F1 1, , B B截面的位移为截面的位移为 外力作功为外力作功为 （b b）再在）再在C C上加上加 F F2 2F2 C C截面的截面的位移为位移为 F F2 2 作功为作功为（c c）在加）在加F F2 2 后后, ,B B截面又有位移截面又有位移 在加在加 F F2 2 过程中过程
11、中 F F1 1 作功（常力作功）作功（常力作功） 所以应变能为所以应变能为ABCabF1F2（2 2）若先在）若先在C C截面加截面加F F2 2 , ,然后然后B B截面加截面加F F1 1. .（a a）在）在C C截面加截面加F F2 2 后后, ,F F2 2 作功作功（b b） 在在B B截面加截面加F F1 1后后, ,F F1 1作功作功ABCabF1F2（c c）加加 F F1 1引起引起 C C 截面的位移截面的位移 在加在加F F1 1过程中过程中F F2 2作功（常力作功）作功（常力作功）ABCabF1F2 所以应变能为所以应变能为注意：注意： （1 1） 计算外力作功
12、时计算外力作功时, ,注意变力作功与常力作功的区别注意变力作功与常力作功的区别. . （2 2）应变能）应变能V V 只与外力的最终值有关只与外力的最终值有关, ,而与加载过程和加载次而与加载过程和加载次序无关序无关. . 2 2 解解: : 梁中点的挠度为梁中点的挠度为: : 梁右端的转角为梁右端的转角为: :MeACBFl/2l/2 梁的变形能为梁的变形能为: : 1 1例题例题4 4 以弯曲变形为例证明以弯曲变形为例证明应变能应变能V V 只与外力的最只与外力的最终值有关终值有关, ,而与加载过程而与加载过程和加载次序无关和加载次序无关. . 先加力先加力 F F 后后, ,再加力偶再加
13、力偶 MMe e（1 1）先加力）先加力F F后后, ,C C 点的位移点的位移 力力F F 所作的功为所作的功为（2 2）力偶由零增至最后值）力偶由零增至最后值 MMe e B B 截面的转角为截面的转角为 力偶力偶 MMe e 所作的功为所作的功为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me 1 1 先加上的力先加上的力F F所作的功为所作的功为 C C截面的位移为截面的位移为 3 3ACBl/2l/2 F F与与力偶力偶MMe e所作的功为所作的功为ACBFl/2l/2 1 1 Men1、结构材料处于弹性工作阶段，服从胡克定律，即应力应变成线性关系。n2、结构满足小变形假设，在建立平衡方
14、程时，仍然可用结构原有几何尺寸进行计算。n3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力影响。6.6 单位荷载法 n6.6.1 结构位移计算假定 满足上述条件的理想化结构体系，其位移与荷载之间为线性关系，称为线性变形体系，其位移计算可以应用叠加原理。kk6.6.2 单位荷载法 1、虚拟状态的选取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶 3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力 4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单
15、位集中力偶 5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为d ，每一力的大小为1/d力和力偶统称为广义力， 单位广义力用=1表示线位移和角位移统称广义位移，用表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反 2、单位荷载法计算位移的主要步骤为：n(1)沿拟求位移的位置和方向加设相应的单位荷载；n(2)根据静力平衡条件，求出在所设单位荷载下结构的弯矩；n(3)根据静力平衡条件，计算在荷载作用下结构的弯矩；n(4)代入位移计算公式中计算位移。3、各类杆
16、件结构在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度 （2）桁架 各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式（3）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项 （4）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计 4、静定梁的位移计算计算步骤为 （1）设虚拟状态；（2）计算（3）用梁的位移计算公式计算位移。例1 求图所示简支梁上力点的作用点的竖向位移和转角。EI为常数。左段 右段 右段 当时时，左段左段 右段 这这里单单位力偶的方向是任选选的。取正值值，表明转转角的方向与单位力偶的方向相同；取负值负值 ，表明转转角的方向与单位力偶的方向相反；5、静定桁架的位移计算计算步骤为 （1）设虚拟状态；（2）计算（3）用桁架的位移计算公式计算位移。解 （1）设虚拟状态（如上图b所示） （2）计算（标于图 b.a ）（3）代公式求C点的竖向位移例2 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点的竖向位移6.7图乘法6.7.1 图乘法原理1、图乘法的适用条件：（1）杆段的轴
