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1、2020年福建省龙岩市丰田中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若x，y满足约束条件的最大值是 A-3 B C2 D3参考答案：D2. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）Ay=exBy=x3Cy=lnxDy=|x|参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论【解答】解：对于选项A，y=ex为增函数，y=x为减函数，故y=ex为减函数，对于选项B，y=3x20，故y=x3为增函数，对于选项C，函数的定义域为x0，不为R，对于选项D，函数y=|x
2、|为偶函数，在（0）上单调递减，在（0，）上单调递增，故选：B3. 三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为D满足，A点在侧面PBC上的射影H是PBC的垂心，PA =6，则此三棱锥体积最大值是 A12 B36 C48 D24参考答案：B略4. 函数的图象大致是 ( )ABCD参考答案：A5. 若过点P（1a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（）A（2，1）B（1，2）C（，0）D（，2）（1，+）参考答案：A【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的倾斜角为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围【解答】解：过点P（1a，1+a）和Q（3，
3、2a）的直线的倾斜角为钝角，直线的斜率小于0，即0，即0，解得2a1，故选：A【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系6. 给出下列各函数值：sin(1 000)；cos(2 200)；tan(10)；其中符号为负的是()A B C D参考答案：C略7. 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则的解析式为（ ）A.B. C.D.参考答案：A8. 已知数列为等差数列，公差，、成等比，则的值为（ ） A B C D参考答案：，得，选9. 在中，则是A.等边三角形B.等腰非等边的锐角三角形C.非等腰的直角三角形D.等腰直角三角形参考答案：D由得,因为，所以必
4、有且，所以且,所以,即是等腰直角三角形，选D.10. 设函数f（x）（xR）为奇函数，f（1）， f（x2）f（x）f（2），则f（5） （A）5 （B） （C）1 （D）0参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知扇形的周长为20，当扇形的面积最大时，扇形圆心角的弧度数是_参考答案：212. 地面上放一个半球为的球，在球的正上方与球面的距离为处有一发光点，则在地面上球的阴影面积是 .参考答案：.略13. 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_参考答案
5、：(1,1)【分析】联立两条曲线的极坐标方程，求得交点的极坐标，然后转化为直角坐标.【详解】由，解得，故，故交点的直角坐标为(1,1).故答案为(1,1)【点睛】本小题主要考查极坐标下两条曲线的交点坐标的求法，考查极坐标和直角坐标互化，属于基础题.14. 设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得OMN=45，则的取值范围是_.参考答案：15. 下列四个命题： ； ； ； 其中正确命题的序号是 参考答案：16. 在平面直角坐标系xOy中，已知角的终边经过点,将角的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合 ,则的值为 .参考答案： 17. 函数y=（m2m1）是幂函数，且在x（0，+）上是减函数
6、，则实数m=参考答案：2【考点】幂函数的性质【专题】综合题【分析】由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x（0，+）上是减函数，故其幂指数为负，由此即可转化出参数的所满足的条件【解答】解：由题设条件及幂函数的定义知由解得m=2，或m=1，代入验证知m=1不合题意故m=2故答案为2【点评】本题考点是幂函数的性质，考查对幂函数定义的理解与把握，幂函数的定义为：形如y=ax（a0且a1）即为幂函数，其系数为1，这是幂函数的一个重要特征三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分13分）如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为、，右焦点为，且,.（1
7、）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作直线、，直线与椭圆分别交于点、，直线与椭圆分别交于点、，且，求四边形的面积的最小值.参考答案：（1）设椭圆的方程为，则由题意知，又因为，即，所以.所以，故椭圆的方程为. 4分（2）设则由题意：即：=整理得：即，所以 7分1 若直线中有一条斜率不存在.不妨设的斜率不存在，则可得轴，所以，故四边形的面积.若直线的斜率存在，设直线的方程为：，则 由得：.设，则.同理可求得，故四边形的面积：综上，四边形的面积的最小值为 13分19. 长方形ABCD中，沿对角线AC将折起，使D点到P点的位置，且二面角P-AC-B为直二面角。（1）求PB长；（2）求三棱锥P-AB
8、C外接球的表面积；（3）求二面角A-PB-C的平面角的余弦值。参考答案：（1）；（2）；（3）（1）过P作PEAC交AC与E，连接BE，则PEB为直角，而PE=|AB|BC|AC|=,又|BE|=，所以|PB|=； 3分（2）AC中点即为外接球球心，球半径R=2，； 6分（3）在平面图中，过D作DE垂直于AC，垂足为E，延长交AB于H，以EH为X轴，EC为Y轴，EP为Z轴建立空间直角坐标系（如图）， 7分易得： 9分设平面PAB的法向量为：，则，令z=1，得 11分设平面PBC的法向量为：，则，令x=1，得 13分设二面角A-PB-C的平面角为，则 14分20. 如图，制图工程师要用两个同中心
9、的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.(1)试用表示的面；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.参考答案：(1)设为,，(2)令,只需考虑取到最大值的情况,即为，当,即时, 达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.21. 如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；（2）若PA=2，求二面角EAFC的余弦值参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质专题：计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离；
10、空间角分析：（1）判断垂直证明AEBCPAAE推出AE平面PAD，然后证明AEPD（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量通过向量的数量积求解二面角的余弦值解：（1）垂直证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形因为E为BC的中点，所以AEBC又BCAD，因此AEAD因为PA平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PAAE而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PAAD=A，所以AE平面PAD，又PD?平面PAD，所以AEPD（2）由（1）知AE，AD，AP两两
11、垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，A（0，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），所以，设平面AEF的一个法向量为，则，因此，取z1=1，则因为BDAC，BDPA，PAAC=A，所以BD平面AFC，故为平面AFC的一个法向量又，所以因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力22. 如图，四棱锥S-ABCD的底面为矩形，平面SAB平面ABCD，点E在线段SC上，且BE平面SAC.（1）求证：AS平面BCS；（2）若点M是线段
12、SD上靠近D的三等分点，点N在线段AB上，且MN平面，求MN的值.参考答案：（1）见解析;（2）.【分析】（1）证明AS垂直面SBC内的两条相交直线BC、BE，即可证得结论；（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NOSB，连结ON，OM，利用面面平行证得线面平行，再利用勾股定理，即可得答案.【详解】（1）平面SAB平面ABCD，面SAB面ABCDAB，BCAB，BC面ABCD，BC面SAB，又AS面SAB，ASBC.BE面SAC，AS面SAC，ASBE，又BCBEB，AS面SBC.（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NOSB，连结ON，OM，ONSB，ON面SBC，SB面SBC，ON面SBC，同理OM面SBC，OM，ON面OMN，OMONO，面OMN面SBC，MN面OMN，MN面SBC.由（1）得：OMON，在直角三角形OMN中，ON1，OM4，.【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面平行性质定理、线面平行判定定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
