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1、2020年湖南省郴州市迎春中学高二数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，若前5项和，则等于（ ） A 4 B 4 C 2 D2参考答案：A2. 圆的极坐标方程为=2（cos+sin），则该圆的圆心极坐标是（）AB（，）C（，）D参考答案：B【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】由极坐标方程求出圆的直角坐标方程，从而求出该圆的圆心平面直角坐标，由此能求出该圆的圆心极坐标【解答】解：极坐标方程为=2（cos+sin），2=2cos+2sin，x2+y2=2x+2y，x2+y22x2y=0，
2、该圆的圆心平面直角坐标为（1，1），该圆的圆心极坐标为（，）故选：B3. 设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（ ）A B 或 2 C 2 D参考答案：A4. 设是等差数列,是其前项和,且，则下列结论错误的是 （ ） 参考答案：C略5. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，以线段为直径的圆截轴所得到的弦长为4，则圆的半径为A2 B C3 D 参考答案：B略6. 以下有关命题的说法错误的是 （ ）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若,则”.B. “”是“”的充分不必要条件.C. 若为假命题，则、均为假命题.D. 对于命题，使得，则，则.参考答案：
3、C7. 命题“”的否定为（ ）A. B. C. D.参考答案：C8. 已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C设如图所示，取的中点，的中点，的中点，连结，由于，且，故四边形是平行四边形，由三角形中位线的性质可得，据此可得或其补角即为所求，且，由余弦定理可得：.据此可得AE,SD所成的角的余弦值为.本题选择C选项.9. 抛物线y2=3x的准线方程是（）ABCD参考答案：B【考点】抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线方程求解即可【解答】解：抛物线y2=3x的准线方程是：x=故选：B10. 过双曲线的
4、一个焦点F作一条渐线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若，则此双曲线的离心率为（）ABC2D参考答案：C【考点】双曲线的简单性质【分析】先由，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【解答】解：如图因为，所以A为线段FB的中点，2=4，又1=3，2+3=90，所以1=2+4=22=3故2+3=90=32?2=30?1=60?=4?e=2故选：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设已知函数，正实数满足，且，若f(x)在区间上的最大值为2，则= 参考答案：根据题意可知，并且可以知道
5、函数在上是减函数，在上是增函数，且有，又，由题的条件，可知，可以解得，所以，则有.12. 复数z满足(i为虚数单位)，则z=_参考答案：【分析】由题意求出，根据复数的除法即可求得的值.【详解】由题意，所以.所以本题答案为.【点睛】本题主要考查复数的运算及复数的求模问题，属基础题.13. 函数的零点的个数是_参考答案：14. 函数f（x）=x3+ax2在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是 参考答案：3，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出f（x），因为要求函数的增区间，所以令f（x）大于等于0，然后讨论a的正负分别求出x的范围，根据函数在区间（1，+）上是增函数列出关于a
6、的不等式，求出a的范围即可【解答】解：f（x）=3x2+a，令f（x）=3x2+a0即x2，当a0，xR；当a0时，解得x，或x；因为函数在区间（1，+）内是增函数，所以1，解得a3，所以实数a的取值范围是3，+）故答案为：3，+）15. 今年暑假，小明一家准备从A城到G城自驾游，他规划了一个路线时间图，箭头上的数字表示所需的时间（单位：小时），那么从A城到G城所需的最短时间为 小时参考答案：10 16. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：性别 专业非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，所以判定主修统
7、计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 .（）参考答案：5%17. 由1、2、3三个数字组成可以有重复数字的三位数,如果组成的个位数字是1,且恰有两个数字相同,这样的数称为“好数”,在所有三位数中,好数的概率是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点（1）求的值； （2）求的取值范围；（3）试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由参考答案：（1）解：， 在上是减函数，在上是增函数，当时，取到极小值，即 （2）解：由（1）知， 1是函数的一个零点，即
8、，的两个根分别为， 在上是增函数，且函数在上有三个零点，即 故的取值范围为ks*5u（3）解：由（2）知，且 要讨论直线与函数图.点个数情况，即求方程组解的个数情况由，得即即或 由方程， （*）得，若，即，解得此时方程（*）无实数解 若，即，解得此时方程（*）有一个实数解若，即，解得此时方程（*）有两.解，分别为，且当时， ks*5u综上所述，当时，直线与函数.像有一个交点当或时，直线与函数的图像有二个交点当且时，直线与函数的图像有三个交点略19. 设复数满足,且是纯虚数,求复数和参考答案：解：设，由得2分是纯虚数，则 6分 9分 11分或者 13分略20. (本小题满分16分)已知数列和满足
9、，且对任意都有，()证明：数列为等差数列；()求数列和的通项公式；()证明：参考答案：模拟一 第1页21. （12分）（2013春?福建期末）已知a，b，x，yR，证明：（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2，并利用上述结论求（m2+4n2）（+）的最小值（其中m，nR且m0，n0）参考答案：【分析】把 b2x2+a2y22abxy 的两边同时加上a2x2+b2y2，即可得到（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2成立【解答】证明：b2x2+a2y22abxy，a2x2+b2y2+b2x2+a2y2a2x2+b2y2+2abxy，即（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2成立由不
10、等式（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2成立，知（m2+4n2）（+）当且仅当m2=n2时，等号成立，即（m2+4n2）（+）的最小值为25【点评】本题主要考查用综合法证明不等式，属于中档题22. （本小题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点M是AD上的点，且将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.（） 求证：PDEF；（）试判断PB与平面EFM的位置关系，并给出证明. 参考答案：（）证明：折叠前,2分折叠后，3分又平面，而平面5分（）平面，证明如下：连接交于，连接，在正方形中，连接交于，则，所以，9分又，即，在中，所以. 平面，平面，所以平面.12分
