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1、安徽省马鞍山市当涂县黄池中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内,复数,(i为虚数单位)对应的点分别为A,B,若点C为线段AB的中点,则点C对应的复数为( )AB1CiDi参考答案:A考点:复数的代数表示法及其几何意义 专题:数系的扩充和复数分析:根据复数的几何意义进行运算即可解答:解:=,则A(,),=,则B(,),则C(,0),即点C对应的复数为,故选:A点评:本题主要考查复数的几何意义,根据复数的基本运算是解决本题的关键2. 若两个非零向量,满足|+|=|=2|,则向量+与的夹角是
2、()ABCD参考答案:C【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系,利用向量的数量积公式求出两向量的夹角【解答】解:依题意,|+|=|=2|=, =3,cos,=,所以向量与的夹角是,故选C3. 变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案:A略4. 与事定义在R上的偶函数,若时=,则-为( )A.正数 B.负数 C.零 D.不能确定参考答案:A= =则 恒成立是单调递增原式0恒成立注意点:若关于轴对称,T=2a 若关于点对称,T=2a 若关于对称,T=4a 5. 在ABC中, =2, =, =, =,则下列等式成立
3、的是()A =2B =2C =D =参考答案:D【考点】向量加减混合运算及其几何意义【专题】平面向量及应用【分析】利用向量的三角形法则即可得出【解答】解:如图所示,化为故选:D【点评】本题考查了向量的三角形法则,属于基础题6. 已知为的导函数,则的图像是( )参考答案:A7. 已知命题p“函数f(x)=log2(x22x3)在(1,+)上单调递增”,命题q“函数f(x)=ax+11的图象恒过(0,0)点”,则下列命题正确的是()ApqBpqCp(?q)D(?p)q参考答案:D【考点】复合命题的真假【分析】先判断两个简单命题的真假,进而根据复合命题真假判断的真值表得到答案【解答】解:函数f(x)
4、=log2(x22x3)的定义域为:(,1)(3,+),故命题p“函数f(x)=log2(x22x3)在(1,+)上单调递增”,为假命题;令x+1=0,则x=1,ax+11=0,故函数f(x)=ax+11的图象恒过(1,0)点,故命题q“函数f(x)=ax+11的图象恒过(0,0)点”,为假命题;则pq,pq,p(?q)均为假命题;(?p)q为真命题,故选:D8. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )(A)64(B)72 (C)80 (D)112参考答案:C试题分析:该几何体的直观图如图所示:由正方体和四棱锥组成,,故选C.考点:1.三视图;2.求几何体的体积.9. 给出如下四
5、个命题: 若“pq”为假命题,则p,q均为假命题;命题“若,则”的否命题为“若,则”;命题“任意”的否定是“存在”;在ABC中,“”是“”的充要条件.其中不正确命题的个数是(A)4 (B)3 (C)2 (D)1参考答案:D10. 设函数为正常数,则下列结论中正确的是A当x=2a时有最小值0 B当x=3a时有最大值0 C无最大值,且无最小值D有最小值,但无最大值参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数z满足z(1+i)=2-4i,那么z=_.参考答案:-1-3i12. 设向量,满足,且,则向量在向量方向上的投影为 .参考答案:1由于,所以,即,所以向量在向量
6、方向上的投影为.13. 已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点的坐标为(3,4),则= 参考答案:14. 设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数 参考答案:依题意,则,所以,即满足的正整数故填【解题探究】本题考查数列的前项和与通项关系的应用解题首先由得到,的符号,进而推理出15. 的三个内交为,若,则的最大值为 参考答案:试题分析:,展开化简得,所以,则,当,所求的有最大值.考点:1.三角恒等变换;2.二次函数的最值.16. 已知实数x,y满足不等式组那么目标函数的最大值是 。参考答案:答案:4 17. 若函数f(x)=ax3ax2+(2a3)x+1在R上存在极值,则实数
7、a的取值范围是参考答案:(0,3)【考点】利用导数研究函数的极值【分析】根据函数f(x)=+(2a3)x+1存在极值点,可得f(x)=0有两不等实根,其判别式0,即可求得a的取值范围【解答】解:求导函数,可得f(x)=ax22ax+2a3函数f(x)=+(2a3)x+1存在极值点,f(x)=0有两不等实根,其判别式=4a24a(2a3)00a3a的取值范围是(0,3)故答案为:(0,3)三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)已知椭圆过点,且其右顶点与椭圆的右焦点重合求椭圆的标准方程;设为原点,若点在椭圆上,点在椭圆上,且,试判
8、断直线与圆的位置关系,并证明你的结论参考答案:19. (本小题满分12分)为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为,由此得到频率分布直方图如图. ()求这20名工人中一天生产该产品数量在有多少人? ()工厂规定生产该产品的数量前四名的工人依次进行生产示范表演,随机安排顺序,求在同一分组区间的两人恰好不相邻表演的概率.参考答案:20. (本小题满分12分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示()频率分布表中的、位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率
9、分布直方图(如图)再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 30,35)岁的人数;分组(单位:岁)频数频率20,2550.0525,300.2030,353535,40300.3040,45100.10合计1001.00()在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望参考答案:解:(I)0.2100=20,处是20,处是0.35,由频率分步直方图中,30,35)的人数是0.35500=175在频率分步直方图知,在25,30)这段数据上对应的频
10、率是0.2,组距是5,小正方形的高是,在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形(II)用分层抽样方法抽20人,则年龄低于30岁的有5人,年龄不低于30岁的有15人,故X的可能取值是0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=X的分布列是X的期望值是EX=21. 如图,在矩形中,是的中点,将三角形沿翻折到图的位置,使得平面平面.(1)在线段上确定点,使得平面,并证明;(2)求与所在平面构成的锐二面角的正切值. 参考答案:()点是线段中点时,平面.证明:记,的延长线交于点,因为,所以点是的中点,所以.而在平面内,在平面外,所以平面.7分()在矩形中,因为平面平面,且交线是,所
11、以平面.在平面内作,连接,则.所以就是与所在平面构成的锐二面角的平面角.因为,,所以.15分22. 已知曲线f(x)=ax3blnx在x=1处的切线方程为y=2x+()求f(x)的极值;()证明:x0时,(e为自然对数的底数)参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值【分析】()求出原函数的导函数,求得函数在点(1,f(1)处的切线l的方程,求得a,b值,进一步求出原函数的极小值点,得到f(x)的极小值;()把f(x)的解析式代入 ,转化为证xlnx,分别构造函数g(x)=xlnx,x(0,+),h(x)=(0,+),然后利用导数分别求出它们的最值得到要证明的结论【
12、解答】解:()f(x)=ax2,故f(1)=a,f(1)=ab,故切线方程是:y=(ab)(x1)+a=(ab)xa+b,而y=2x+,故ab=2,a+b=,解得:a=2,b=4,故f(x)=x34lnx,(x0),f(x)=2x2=(x0),当x(0,3)时,f(x)0;当x(3,+)时,f(x)0,则f(x)在(0,3)上为减函数,在x(3,+)上为增函数,f(x)的极小值为f(3)=4ln=(1ln2),无极大值;(2)证明:f(x)=x34lnx,要证 ,即证xlnx令g(x)=xlnx,x(0,+),则g(x)=lnx+1,由g(x)0,得0x;由g(x)0,得x,当x=时取得最小值,最小值为g()=,由h(x)=,可得h(x)=,当x(0,1),h(x)0,h(x)单调递增,当x(1,+),h(x)0,h(x)单调递减函数h(x)(x0)在x=1时取得最大值,又h(1)=,h(x),任意x(0,+),