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1、2012 考前金题巧练（ 7）参答1. 解： （）设22bac，依题意得1b2263cabeaa，解得,ab31. 所以椭圆的方程为.xy2213. （）当AB.3| , ABx轴时当AB与 x轴不垂直时，设直线AB的方程为),(),(,2211yxByxAmkxy，由已知,231|2km得),1(4322kmmkxy把代入椭圆方程，整理得,0336)13(222mkmxxk于是.13)1(3,1362221221kmxxkkmxx故21222)(1(|xxkAB13)1(12)13(36)1(2222222kmkmkk2222212(1)(31)(31)kkmk22223(1)(91)(31
2、)kkk)0(61912316912322222kkkkkk.4632123当且仅当33,1922kkk即时等号成立，此时.2| AB当.3| ,0ABk时综上：2|maxAB，AOB面积取最大值.2323|21maxABS2. 解： （）因为,/ lAB且 AB通过原点（ 0，0） ，所以 AB所在直线的方程为. xy由xyyx4322得 A、B 两点坐标分别是A（1，1） ，B（-1 ，-1） 。22)()(|221221yyxxAB又lhAB等于原点到直线边上的高的距离。.2|21,2hABShABC（）设AB所在直线的方程为mxy由.04364432222mmxxmxyyx得因为 A，
3、B 两点在椭圆上，所以,064122m即.334334m设 A，B两点坐标分别为),(),(2211yxyx，则,443,2322121mxxmxx且.,2211mxymxy221221221)(2)()(|xxyyxxAB2632)4349(24)(222221221mmmxxxx又lmBC到直线的长等于点),0(的距离，即.2|2|mBC.)1(11102|22222mmmBCABACACm,1时当边最长。（显然3341334）, 所以， AB所在直线的方程为1xy3. 解： ( ) 由题意可知3c，23ace，所以2a，于是12b，由于焦点在x 轴上，故 C椭圆的方程为2214xy（）设
4、直线l的方程为：mkxy)0(k，),0(),0,(mBkmA,14,22yxmkxy消去y得：012)41(222mkmxxk直线l与曲线C有且只有一个公共点，0)1)(41(42222mkmk即1422km OMOAOB,222|mkmOM将式代入得：222211|452453OMkkkk当 且 仅 当22k时 ， 等 号 成 立 ， 故min|3OM，此时直线方程为：03222yx. 4. 解： （）因为12ca，所以2ac，3bc. 设椭圆方程为2222143xycc，又点3(1,)2P在椭圆上 , 所以2213144cc，解得21c， 所以椭圆方程为22143xy. （）易知直线l的
5、斜率存在 , 设l的方程为(4)yk x，由22(4),1,43yk xxy消去y整理，得2222(34)3264120kxk xk，由题意知2222(32)4(34)(6412)0kkk，解得1122k. 设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则21223234kxxk，2122641234kx xk. . 因为AM F与M F N的面积相等，所以AMM N ，所以1224xx.由消去2x得21241634kxk.将2124xx代入得21126412(24)34kxxk.将代入2222224164166412(24)343434kkkkkk，整理化简得2365k，解得56k，经检验成立 .
6、所以直线l的方程为5(4)6yx. 5. 解： （）由题意可知：1c =，12ca，所以2a =. 所以2223bac=-=. 所以椭圆C的标准方程为22143xy，左顶点P的坐标是(2, 0)-. （）根据题意可设直线A B的方程为1xmy=+，1122(,),(,)A xyB xy. 由221,431xyxmy?+=?=+? ?可得：22(34)690mymy+-=.223636(34)0mm=+，122634myym+= -+，122934y ym= -+. 所以PA B的面积21212121113()422SPFyyyyy y=-=创+-222223636181()2343434mmm
7、mm+=-+=+. 因为PA B的面积为3613，所以22123413mm+=+. 令21tm=+，则22(1)3113ttt=+. 解得116t =（舍） ，22t=. 所以3m =. 所以直线AB的方程为+310 xy -=或310 xy-=. 6. 解： （）设椭圆C的半焦距是c . 依题意，得1c. 因为椭圆C的离心率为12，所以22ac，2223bac. 故椭圆C的方程为22143xy. （）当M Nx轴时，显然00y. 当M N与 x 轴不垂直时，可设直线M N的方程为(1) (0)ykxk. 由22(1),3412,yk xxy消去y整理得0)3(48)43(2222kxkxk.
8、设1122(,),(,)MxyNxy，线段M N的中点为33(,)Q xy，则2122834kxxk. 所以212324234xxkxk，3323(1)34kykxk. 线段M N的垂直平分线方程为)434(1433222kkxkkky. 在上述方程中令0 x，得kkkky4314320. 当0k时，3443kk；当0k时，3443kk. 所以03012y，或03012y. 综上，0y的取值范围是33,1212. 7. 解： （）由已知可得222,28bab， 所求椭圆方程为22184xy（）若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意2m设),(11yxA，),(22yxB，由,148
9、22mkxyyx得222124280kxkmxm, 则2121222428,1212kmmxxx xkk由已知1212228yyxx，所以1212228kxmkxmxx，即1212228xxkmx x所以42mkkm，整理得122mk故直线AB的方程为122ykxk，即ky（21x）2所以直线AB过定点（2,21） 若直线AB的斜率不存在，设AB方程为0 xx，设00(,)A xy，00(,)Bxy，由已知0000228yyxx，得012x此时AB方程为12x，显然过点（2,21） 综上，直线AB过定点（2,21） 8. 解: （）由题得过两点(4, 0)A，(0, 2)B直线l的方程为240
10、 xy. 因为12ca，所以2ac，3bc. 设 椭 圆 方 程 为2222143xycc, 由2222240,1,43xyxycc消 去 x 得 ，224121230yyc. 又因为直线l与椭圆C相切 , 所以221244(123)0c, 解得21c. 所以椭圆方程为22143xy. （）易知直线m 的斜率存在 , 设直线 m 的方程为(4)yk x， 由22(4),1,43yk xxy消去y，整理得2222(34)3264120kxk xk. 由题意知2222(32)4(34)(6412)0kkk，解得1122k. 设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则21223234kxxk，2122
11、641234kx xk. 又直线:240lxy与椭圆22:143xyC相切，由22240,1,43xyxy解得31,2xy，所以3(1,)2P. 则2454AP. 所以3645813547AMAN. 又22221122(4)(4)AMANxyxy2222221122(4)(4)(4)(4)xkxxkx212(1)(4)(4)kxx21212(1)(4()16)kx xxx22222641232(1)(416)3434kkkkk2236(1).34kk所以223681(1)347kk，解得24k. 经检验成立 . 所以直线 m 的方程为2(4)4yx. 9. 解： （）由OMF是等腰直角三角形，
12、得1b，22ba，故椭圆方程为1222yx（）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为PQM的垂心，设),(11yxP，),(22yxQ因为)1,0(M，)0, 1(F， 故1PQk 于是设直线l的方程为mxy，由,22,22yxmxy得0224322mmxx由0，得32m， 且3421mxx,322221mxx由题意应有0FQMP，又1122(,1) ,(1,)M PxyFQxy，故0)1()1(1221yyxx，得0)1)()1(1221mxmxxx即0)1)(222121mmmxxxx整理得0)1(34322222mmmmm 解得34m或1m 经检验，当1m时，PQM不存在，故舍去1m
13、当34m时， 所求直线l存在，且直线l的方程为34xy10. 解： （）设椭圆C的标准方程为22221(0)xyabab，且222abc=+. 由题意可知：1b =，32ca=. 所以24a=. 所以，椭圆C的标准方程为2214xy. （）由（）得(2, 0)Q. 设1122(,),(,)A xyB xy. （）当直线l垂直于 x 轴时，直线l的方程为65x.由226,514xxy解得：6,545xy或6,54.5xy即6464(,),(,)5555AB（不妨设 点A在 x 轴 上 方 ） . 则 直 线AQ的 斜 率1A Qk， 直 线BQ的 斜 率1B Qk. 因 为1AQBQkk，所以A
14、QBQ. 所以2AQ B. （）当直线l与 x 轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为6()(0)5ykxk. NQBAOyx由226(),514yk xxy消去y得：2222(25100)2401441000kxk xk. 因为点6(, 0)5-在椭圆C的内部，显然0.21222122240,25100144100.25100kxxkkx xk因为1122(2,),(2,)QAxyQBxy，116()5yk x，226()5yk x，所以1212(2)(2)QA QBxxy y121266(2)(2)()()55xxk xk x2221212636(1)(2)()4525kx xkxxk22
15、22222144100624036(1)(2)()402510052510025kkkkkkk. 所以Q AQ B. 所以QAB为直角三角形. 假设存在直线l使得QAB为等腰三角形，则QAQB . 取AB的中点M，连接QM，则QMAB. 记点6(, 0)5-为N. 另一方面，点M的横坐标22122212024225100520Mxxkkxkk+= -= -+，所以点M的纵坐标266()5520MMkyk xk=+=+. 所以222221016666(,) (,)520520520520kkkQ MN Mkkkk+?+222601320(520)kk+=+. 所以Q M与 NM 不垂直，矛盾. 所以当直线l与 x 轴不垂直时，不存在直线l使得QAB为等腰三角形 .
