《2020年名师讲解高考数学总复习第7章7.6直接证明与间接证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年名师讲解高考数学总复习第7章7.6直接证明与间接证明（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 7.6 直接证明与间接证明考情考向分析高考要求了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题，高考一般不单独考查，会与其他知识综合在一起命题2 1直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法(2)一般形式本题条件已知定义已知公理已知定理? A? B? C? ? 本题结论(3)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合法推证过程已知条件? ? ?结论(4)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为分析法
2、推证过程结论 ? ? 已知条件2间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等(2)反证法的基本步骤反设 假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真归谬 从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果3 存真 由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立4 概念方法微思考1直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示是用综合法证明时常省略大前提2综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的3反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是反证法是命题中“p 与綈 p”关系的应用5 题组一思考辨析1判断下列结论是否正
3、确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab” ()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程 ()(6)证明不等式27Q解析P22a132a213a42，Q22a132a2 13a40，P2Q2，又 P0，Q0，PQ.3P87 习题 T7设实数 a，b， c 成等比数列，非零实数x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等差中项，则axcy_.答案2解析由题意，得x
4、ab2， ybc2， b2ac，xyabb c4，6 axcyay cxxyab c2cab2xya bc c a b2xyabbc2ac2xyabbcacb22xyabbc2xyab bc2ab bc42.题组三易错自纠4若 a，b， c为实数，且ab0，则下列命题正确的是_(填序号 )ac2abb2；1aab.答案解析a2 aba(ab)，ab0， ab0，a2ab.(*1)又 abb2b(a b)0，abb2，(*2)由(*1)(*2)得 a2abb2.5用反证法证明命题：“设a，b 为实数，则方程x3axb0 至少有一个实根”时，要作的假设是 _答案方程 x3axb0 没有实根解析方程
5、 x3axb0 至少有一个实根的反面是方程x3axb0 没有实根6如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A2B2C2是_三角形答案钝角解析由条件知， A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则 A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形由sin A2cos A1sin2A1，sin B2cos B1sin2B1.sin C2cos C1 sin2C1，7 得A22A1，B22B1，C22 C1.那么， A2B2C22，这与三角形内角和为 相矛盾所以假设不成立假设 A2B2C2是直角三角形，不妨设A22，则 cos A1sin A21，A10，
6、矛盾所以 A2B2C2是钝角三角形题型一综合法的应用1已知 m1， am1m，bmm1，则 a，b 的大小关系为 _答案amm10(m1)，1m1m1mm1，即 aa bba成立，则 a，b 应满足的条件是_答案a0，b 0 且 ab解析 a ab b(abba)a(ab)b(ba)(ab)(ab)(ab)2(ab)当 a0，b0 且 ab 时， (ab)2(ab)0.aabba bb a成立的条件是a0，b0 且 ab.3若 a，b， c是不全相等的正数，求证：lga b2lgbc2 lgca2lg alg blg c.证明 a，b，c(0， )，ab2ab 0，bc2bc 0，ac2ac
7、0.由于 a，b，c 是不全相等的正数，上述三个不等式中等号不能同时成立，ab2b c2ca2abc0 成立上式两边同时取常用对数，得lgab2bc2ca2lg( abc)，lgab2lgbc2lgca2lg alg blg c.4已知 a，b，c0，abc1.求证：(1)abc3；(2)13a113b113c132.证明(1)(abc)2(ab c) 2 ab2bc2 ca (abc) (a b)(bc)9 (ca)3，abc3(当且仅当 abc 时取等号 )(2) a0， 3a11，43a 1(3a1)243a 13a1 4，43a 133a 当且仅当 a13时，取等号，同理得43b1 3
8、3b，43c133c，以上三式相加得413a113b113c1 93(abc)6，13a 113b 113c132(当且仅当abc13时取等号 )思维升华(1)综合法是 “由因导果 ”的证明方法， 它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题 )出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理题型二分析法的应用例1 已知函数f(x)tan x， x 0，2，若x1， x2 0，2，且x1x2，求证：12f(x1)f(x2)fx1x22.证明要证12f(x1)f(x2)fx1x22，即证明12(ta
9、n x1tan x2)tan x1x22，10 只需证明12sin x1cos x1sin x2cos x2tan x1x22，只需证明sin x1x22cos x1cos x2sin x1x21cos x1x2.由于 x1，x2 0，2，故 x1 x2(0，)所以 cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1 x2)0，故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证 1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证 cos(x1 x2)fx1x22.引申探究若本例中f(x)变为 f(x)3x2x，试证：对于任意的x1， x
10、2R，均有f x1f x22fx1x22.证明要证明f x1f x22fx1x22，即证明3x12x1 3x22x221223xx 2x1 x22，因此只要证明3x13x22(x1 x2)1223xx(x1x2)，即证明3x13x223x1x22，因此只要证明3x13x223x13 x2，由于当 x1，x2R 时， 3x10,3x20，由基本不等式知3x13x223x13 x2显然成立， 当且仅当x1x2时，等号成立 故原结论成立思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的
11、办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分 )的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证跟踪训练1 已知 a0，证明：a21a22 a1a2.证明要证a21a22 a1a2，11 只需证a21a2 a1a(22)因为 a0，所以a1a(22)0，所以只需证a21a22a1a 222，即 2(22) a1a842，只需证 a1a2.因为 a0， a1a2 显然成立 (当 a1a1 时等号成立 )，所以要证的不等式成立题型三反证法的应用命题点 1证明否定性命题例 2 设an是公比为q 的等比数列(1)推导 an的前 n 项和公式；(2)设 q 1，证明：数列 an1 不是等比数
12、列(1)解设an 的前 n 项和为 Sn，则当 q1 时， Sna1a1a1na1；当 q1 时， Sna1a1qa1q2 a1qn1， qSna1qa1q2 a1qn，得 (1q)Sna1a1qn，Sna11qn1q，Snna1， q1，a11qn1q， q1.(2)证明假设 an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak2 1，a21q2k2a1qka1qk1 a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0， q22q10，q1，这与已知矛盾12 假设不成立，故 an1不是等比数列命题点 2证明存在性命题例
13、3 已知在四棱锥S ABCD 中，底面是边长为1 的正方形，又SBSD2，SA1.(1)求证： SA平面 ABCD；(2)在棱 SC 上是否存在异于S， C 的点 F，使得 BF平面 SAD？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明由已知得SA2AD2 SD2， SAAD.同理 SAAB.又 ABADA， AB? 平面 ABCD，AD? 平面 ABCD ，SA 平面 ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C 的点 F，使得 BF 平面 SAD.BCAD，BC?平面 SAD，AD? 平面 SAD.BC平面 SAD.而 BCBFB，BC，BF? 平面 SBC，平面 SBC平面
14、 SAD.这与平面SBC 和平面 SAD 有公共点S矛盾，假设不成立不存在这样的点F，使得 BF平面 SAD.命题点 3证明唯一性命题例 4 已知 M 是由满足下列条件的函数构成的集合：对任意f(x) M，方程f(x)x0 有实数根；函数 f(x)的导数 f(x)满足 0f(x)1.(1)判断函数f(x)x2sin x4是不是集合M 中的元素，并说明理由；13 (2)集合 M 中的元素f(x)具有下列性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意 m，n? D，都存在x0(m，n)，使得等式f(n) f(m) (nm)f(x0)成立试用这一性质证明：方程f(x) x0有且只有一个实数根(1)解当 x
15、0 时， f(0)0，所以方程f(x)x0 有实数根0；f (x)12cos x4，所以 f(x)14，34，满足条件0f(x)1.由 可得，函数f(x)x2sin x4是集合 M 中的元素(2)证明假设方程f(x)x0 存在两个实数根 ， ( )，则 f( ) 0，f( ) 0.不妨设 ，根据题意存在c ( ， )，满足 f( )f( )( )f(c)因为 f( ) ，f( ) ，且 ，所以 f(c)1.与已知 0f(x)1 矛盾又 f(x)x0 有实数根，所以方程f(x)x0 有且只有一个实数根思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p? q”的条件和结论；第
16、二步：作出与命题结论q 相反的假设 綈 q；第三步：由p 和綈 q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈 q 不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p? q 为真所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果跟踪训练2 若 f(x)的定义域为 a，b，值域为 a，b(a 2)，使函数 h(x)1x2是区间 a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a， b的值；若不存在，请说明理由解(1)由题设得g(x)12(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间 1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增由“四维光军 ”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即12b2b32b，解得 b1 或 b3.因为 b1，所以 b3.14 (2)假设存在常数a，b (a2)，使函数h(x)1x2是区间 a，b 上的 “四维光军 ”函数，因为 h(x)1x2在区间 (2， )上单调递减，所以有h a b，h b a，即1a2b，1b2a，解得 ab，这与已知矛盾故不存在
