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1、.第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题每小题5分,共20分1计算_,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.2设是连续函数,且满足, 则_.3曲面平行平面的切平面方程是_.4设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_.二、5分求极限,其中是给定的正整数.三、15分设函数连续,且,为常数,求并讨论在处的连续性.四、15分已知平面区域,为的正向边界,试证：1； 2.五、10分已知,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、10分设抛物线过原点.当时,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、15分已知满足, 且,
2、 求函数项级数之和.八、10分求时, 与等价的无穷大量.第二届全国大学生数学竞赛预赛试题一、25分,每小题5分1设其中求 2求。3设,求。4设函数有二阶连续导数,求。5求直线与直线的距离。二、15分设函数在上具有二阶导数,并且且存在一点,使得,证明：方程在恰有两个实根。三、15分设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。四、15分设证明：1当时,级数收敛； 2当且时,级数发散。五、15分设是过原点、方向为,其中的直线,均匀椭球,其中密度为1绕旋转。1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。六、设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积
3、分的值为常数。1设为正向闭曲线证明 2求函数；3设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求。第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一 计算下列各题共3小题,每小题各5分,共15分1.求； 2.求；3已知,求。二10分求方程的通解。三15分设函数f在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且均不为0,证明：存在唯一一组实数,使得。四17分设,其中,为与的交线,求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五16分已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分取上侧,是S在点处的切平面,是原点到切平面的距离,表示S的正法向的方向余弦。计算：1；2六12分设f是在内的可微函数,且,其中,任取实数,定义证明：绝
4、对收敛。七15分是否存在区间上的连续可微函数f,满足,？请说明理由。第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一. 每题6分共30分1.求极限； 2.求极限；3.求通过直线的两个相互垂直的平面,是其中一个平面过点；4.已知函数,且,确定常数和,使函数满足方程；5.设函数连续可微,且在右半平面上与路径无关,求；二.10分计算；三.10分求方程的近似解,精确到；四.12分设函数二阶可导,且,求,其中是曲线上点处切线在轴上的截距；五.12分求最小实数,使得对满足的连续的函数,都有；六.12分设为连续函数,区域是由抛物面和球面所围起来的上半部分,定义三重积分,求；七.14分设与为正项级数那么1若,则收敛；1若,
5、则若发散,收敛。第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 解答下列各题每小题6分共24分1.求极限. 2.证明广义积分不是绝对收敛的3.设函数由确定,求的极值。4.过曲线上的点A作切线,使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为,求点A的坐标。二、12分计算定积分三、12分设在处存在二阶导数,且。证明 ：级数收敛。四、12分设,证明五、14分设是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面,使积分I的值最小,并求该最小值。六、14分设,其中为常数,曲线C为椭圆,取正向。求极限七14分判断级数的敛散性,若收敛,求其和。第六届全国大学生数学竞赛预赛试题一 填空题1.已知和是齐次二阶常系
6、数线性微分方程的解,则该方程是_ 2.设有曲面和平面。则与平行的的切平面方程是_3.设函数由方程所确定。求_4.设。则_ 5.已知。则_二 12分设为正整数,计算。三 14分设函数在上有二阶导数,且有正常数使得。证明：对任意,有。四 14分1设一球缺高为,所在球半径为。证明该球缺体积为。球冠面积为；2设球体被平面所截得小球缺为,记球冠为,方向指向球外。求第二型曲面积分五 15分设在上非负连续,严格单增,且存在,使得。求六 15分设。求第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题6分,共5小题,满分30分1极限.2设函数由方程所决定,其中具有连续偏导数,且。则.3曲面在点的切平面与曲面所围区
7、域的体积是.函数在的傅立叶级数在收敛的值是.5设区间上的函数定义域为的,则的初等函数表达式是.二、12分设是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程。三、12分设在内二次可导,且存在常数,使得对于,有,则在内无穷次可导。四、14分求幂级数的收敛域,及其和函数。五、16分设函数在上连续,且。试证：1使2使六、16分设在上有连续的二阶偏导数,且。若证明：。第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷1、 填空题每小题5分,满分30分1、 若在点可导,且,则.2、 若,存在,求极限.3、设有连续导数,且,记,若,求在的表达式.4、 设,求,.5、 求曲面平行于平面的切平面方程.二、14分设在上可导,且当,试证当,
8、.3、 14分某物体所在的空间区域为,密度函数为,求质量.四、14分设函数在闭区间上具有连续导数,证明：.5、 14分设函数在闭区间上连续,且,证明：在内存在不同的两点,使得.6、 设在可导,且.用Fourier级数理论证明为常数.第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷一填空1. 已知可导函数fx满足cosxf(x)+20xf(t)sintdt=x+1, 则2求3. 设具有二阶连续偏导数,且,其中为非零常数。则=_。4. 设有二阶导数连续,且,则=_5不定积分=_.6. 记曲面和围成空间区域为,则三重积分=_.二本题满分14分 设二元函数在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度,定义一元函数.若对任何都有且. 证明是的极小值. 三 设曲线为在,上从到的一段.求曲线积分四 设函数且在实轴上连续,若对任意实数,有,则,。五设为一个数列,为固定的正整数。若,其中为常数,证明。8 / 8
