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1、2020年湖南省长沙市铁路第二中学高一数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则的值 ( ) 参考答案：A2. 用列举法表示集合xN|x12为（）A0，1，2，3B1，2，3C0，1，2，3，4D1，2，3，4参考答案：A【考点】集合的表示法【分析】根据题意，分析可得集合xN|x3的元素为小于等于3的全部正整数，列举法表示该集合即可得答案【解答】解：集合xN|x12=xN|x3的元素为不大于3的全部非负整数，则xN|x3=0，1，2，3；故选A3. 已知已知定义在上的偶函数在上是单调增函数，若，
2、则的范围为 参考答案：略4. 定义域为R的函数，若关于的函数有5个不同的零点，则等于 （ ）A B16 C15 D5参考答案：略5. 设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， =,则?的值一定等于 A以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积C，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积参考答案：解析：假设与的夹角为，?=cos=?cos(90)=?sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A。6. 已知，x、y满足约束条件，若的最小值为1，则a=（ ）A. B. C. 1D. 2参考答案：B【分析】，所以、满足约束条件表示一个封闭的三角
3、形区域，其三个顶点的坐标分别为，目标函数表示斜率为、截距为的一束平行直线.【详解】、满足约束条件所表示的平面区域如图所示：观察图象可得：直线过点时，其在轴上的截距最小，也就是取得最小值，解得：.【点睛】目标函数形如的线性规划问题，常利用直线在轴上截距的大小，确定在可行域的哪点取到最值.7. 不等式的解集是 ( )A. B. C. D. 参考答案：D8. 已知集合，则实数a的取值范围是（ ）Aa1 Ba1 Ca2 Da2参考答案：C9. 正数满足：，则的最大值为（ ）A.7 B.8 C.9 D.10 参考答案：A略10. 设|a| = 2，|b| =1，a与b夹角为60，要使kb a与a垂直，则
4、k的值为（ ）A1 B2 C3 D4参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某同学利用图形计算器对分段函数 作了如下探究： 根据该同学的探究分析可得：当时，函数的零点所在区间为 (填第5行的a、b)；若函数在R上为增函数，则实数k的取值范围是 .参考答案：， （前空2分，后空3分）12. 若在上是奇函数，则_. 参考答案：0略13. 如下图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于时，的坐标为 参考答案：14. 若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cm2参考答案：9【考点】扇形面
5、积公式【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为： 63=9故答案为：915. 已知点在直线上，则的最小值为 参考答案：16. 函数f（x）=+的定义域为 参考答案：（0，1）【考点】函数的定义域及其求法【分析】函数f（x）=+有意义，只需22x0，lnx0，x0，解不等式即可得到所求定义域【解答】解：函数f（x）=+有意义，只需22x0，lnx0，x0，解得x1，且x1，x0，则函数的定义域为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方数非负，分式分母不
6、为0，对数真数大于0，考查运算能力，属于基础题17. 已知，且，则 _参考答案：-15三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）设直线与直线交于点（1）当直线过点，且与直线垂直时，求直线的方程；（2）当直线过点，且坐标原点到直线的距离为时，求直线的方程参考答案：解：由，解得点. 2分（1）因为，所以直线的斜率， 4分又直线过点，故直线的方程为：，即. 6分（2）因为直线过点，当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即. ks5u7分所以坐标原点到直线的距离，解得， 9分因此直线的方程为：，即. 10分当直线的斜率不存在时，直线的方程
7、为，验证可知符合题意13分综上所述，所求直线的方程为或. 14分略19. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点（1）证明：平面EFG平面BCD；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的大小参考答案：（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】(1)分别证明平面，平面得到两平面平行.(2)将转化为，通过体积公式得到答案.(3)首先判断是二面角的平面角，在中，利用边角关系得到答案.【详解】（1）证明：因为分别为的中点，又有平面，平面，所以平面同理：平面平面，平面，所以平面平面（2）解：因为，所以因为平面平面，平面平面，平面所以平面，为中点，所以所以三棱
8、锥的体积为（3）因为，为中点，所以，同理，平面，平面所以是二面角的平面角平面平面，平面平面，平面，则平面平面，所以在直角三角形中，则，所以二面角的大小为【点睛】本题考查了面面平行的判定定理,考查了三棱锥体积的求法,考查了二面角平面角的求法.考查了学生数学抽象、数逻辑推理的能力20. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60，c=a.（I）求sinC的值；（II）当a=7时，求ABC的面积。参考答案：（I） （II）6【分析】（I）利用正弦定理列方程，求得的值.（II）先求得的值，然后利用余弦定理求得的值，再根据三角形的面积公式求得三角形的面积.【详解】解：（I）在ABC
9、中，因为A=60，c=a，所以由正弦定理得sinC=。（II）因为a=7，所以c=7=3.由余弦定理得，解得b=8或b=5（舍）。所以ABC的面积S=bcsinA=83=6。【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.21. （本小题12分）已知函数, 若f(a)=3 , 求a的值参考答案：22. 已知，其中且，若. （1）求实数a；（2）解不等式；（3）若对任意的正实数t恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）2；（2）；（3）【分析】(1)根据函数表达式得到，解出a值即可；（2）根据函数解析式，分段列出不等式，解出即可;(3),原不等式等价于 （）恒成立.【详解】（1）由题意，或（舍）（2）当时，不等式无解当时，当时，综上所述，不等式的解集为（3）因，所以，恒成立，令，则恒成立，（）恒成立，又在上单调递减，综上所述，.【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，以及不等式恒成立求参的应用，常用的方法是变量分离，转化为函数的最值问题，题目较为综合.
