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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）不等式是高中数学重要的学问，考试中涉及的考点也许多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察仍是许多的；就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，仍有一些转化为不等式问题的题型；高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数的不等式恒（能）成立问题；1、线性规划（ 1）把握好线性规划，第一需要知道，线性
2、规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范畴、最值；所以，有的时候是要依据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题；比如：已知等差数列an， a51, a82 ，就a12 的取值范畴是（ 2）线性规划性的常规考题相对简洁一些，从问题来说有三个常见形式：（ 1）截距型：axby ；（ 2）距离型：x a 2y b 2y；（ 3）斜率型：xb ；假如直接考这几个类型倒仍好；a比如：已知x, y 满意条件x0x 2 y1y 00 ，就 2 x2y 的最大值是，x22y1的最小值是，y的取值范畴是；x3（ 3）有的时候会求解
3、不等式组对应区域的面积等略微活一点的题目；比如：已知P a, b 满意不等式组2 xyx2 yxy00, 就 P 所在区域的面积是40已知x, y 满意条件x0x 2 y1y 00 ，使得 axy 取得最大值的点有许多个，就实数a 的值是已知x, y 满意条件x0x 2 y1y 00 ，且 axy 在点（ 1,0 ）处取得最大值，就实数a 的范畴是（ 4）略微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出；比如：已知2x, y 满意条件x0x 2 y1y 00 ，就 xy2 x5 y62 x1y的取值范畴是 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资
4、料 - - - - - - - - - - - - - - -2、解不等式解不等式分为含参和不含参之分，一般解不等式倒仍好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式， 分数不等式（留意分母不为零），指数、对数不等式，仍是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都仍不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”；另外需要留意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等式对应的根式有关系的，比如：已知不等式的解是 ax 2bx10 的解是1x212，就不等式x3bxa0解
5、含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情形，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清晰分类争论的思路和步骤；而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类争论，由于在高二所学的导数那部分学问中会涉及这个内容；关于这个分类争论，条理性要留意的：第一考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情形（是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中），最终依据题目变量x 的取值范畴去得出不等式的解集；例 1、解不等式 x2 a1 x1a0 a0分析：第一因式分解xa x1 ，二次函数ya xa x1 的两根为 x aa, x21，解应当是
6、两根a1之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情形争论，1 a1 ，解不存在； 2aa1 ，即 a a1 或1a0 ， 1axa ； 3 a1 ，即 aa1 或 0a1，1axa例 2、解不等式：ax 2a1 x10分析： 因式分解ax1 x10 ，考虑到影响因素，究竟解是在两根之间仍是两根之外是由二次项系数决定的，所以a 的取值是关键，联系到二次函数yax1 x1 ，两根为 x11 , x12a1 a0 ，不等式变为x10 ，解为 x1 ，2 a0 ，1a1， x2xx1，解为1x1 ，a 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - -
7、 - - - - - - - - - - - - -3 a0 ，1和1的大小关系不肯定，这个时候就需要进行二者的争论，a当或 x1a11 时，即 aa1， x1 或 x a1，当1=1 时，即 aa1 ， x1 ，当11 时， x1a例 3、解不等式m 21 x24 x10 mR分析： 当 m+1=0时, 它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+11 时，仍需对m+10及 m+10来分类争论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类争论： 当 m0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边； 当 1m0,图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间； 当 m=3时， =
8、4（ 3 m）=0，图象开口向上， 与 x 轴只有一个公共点， 不等式的解为方程4x24x10的根； 当 m3时， =4（ 3 m） 0, 图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为；3、不等式恒成立、不等式有解常见方法1) 恒成立问题（1）如不等式fx（2）如不等式fxA 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上B 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上fx minAf x maxB（3）特殊的，如上述的fx maxfx min 取不到，就最终的参数范畴需要加上“=” .（4）有一些可以转化为恒成立问题的，比如：“函数fx 的图像横在g x的图像的上方fxg x恒成立”；2
9、) 能成立问题（也就是有解问题）如在区间 D 上存在实数x 使不等式fxA 成立 , 就等价于在区间D 上fx maxA ；如在区间 D 上存在实数x 使不等式fxB 成立 , 就等价于在区间D 上的fx minB . 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -3) 恰成立问题（相对少见）如不等式fxA 在区间 D 上恰成立 ,就等价于不等式fxA 的解集为D ；如不等式fxB 在区间 D 上恰成立 ,就等价于不等式fxB 的解集为D .以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及，这里就不详
10、细绽开了；4、基本不等式一、学问点总结1、基本不等式原始形式: （ 1）如a, bR ，就 a 2b22ab（ 2）如a, b22R ，就 abab22、基本不等式一般形式：如 a ,bR* ，就 ab2 ab3、基本不等式的两个重要变形：（ 1）如a ,bR* ，就 ab2ab（ 2）如a,b2R* ，就 abab 2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特殊说明：以上不等式中，当且仅当ab 时取“ =”4、求最值的条件： “一正，二定，三相等”5、常用： 如 a,bR* ，就111ab22ababab22特殊说明：以上不等式中，当且仅当
11、ab 时取“ =”二、题型分析题型：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知 x2 ，求函数y2 x442 x4的最小值；2、已知 x5，求函数y44x214x5的最大值；题型：巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -1、已知a ,b0, a2b1 ，求 t11的最小值；a b法一：法二：变式 ：已知a, b0, a2b1 ，求1a11 的最小值；b变式 ：已知a, b0, a2b1 ，求b 1 的最小值；a1b变式 ：已知a, b0, ab2a1 ，求 2b1的最小值；a变式 ：已知 ab0 ，求2a 2ab1a 2 的最小值；ab
