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1、北京潞河中学分校高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，,则A.5 B.8 C.10 D.14参考答案：B将条件全部化成:,解得,于是.2. 一个样本a，3，4，5，6的平均数为b，且方程x26x+c=0的两个根为a，b，则该样本的方差为（）A1B2CD参考答案：B【考点】BC：极差、方差与标准差【分析】由平均数定义及韦达定理得a+=6，由此求出a，b，从而能求出该样本的方差【解答】解：一个样本a，3，4，5，6的平均数为b，且方程x26x+c=0的两个根为a，b，a+=6，解得a=2，
2、b=4，该样本的方差为： （24）2+（34）2+（44）2+（54）2+（64）2=2故选：B3. 执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为（）A2B16C2或8D2或16参考答案：D【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】算法的功能是求S=的值，分当x1时和当x1时两种情况，求输出S=4时的x值【解答】解；由程序框图知：算法的功能是求S=的值，当x1时，输出的S=4?2x=4?x=2；当x1时，输出的S=4?log2x=4?x=16故选：D【点评】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键4. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲
3、艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）A1800 B3600 C4320 D5040参考答案：B略5. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -1参考答案：A【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z2x+y的最小值【详解】由z2x+y，得y2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y2x+z，由平移可知当直线y2x+z，经过点A时，直线y2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得A（3，0）将A的坐标代入z2x+y，得z6，即目标函数z2x+y的最小值为6故选：A【点睛】本题
4、主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6. 设复数（i是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）A(3,4) B(5,4) C(3,2) D(3,4) 参考答案：A，所以复数对应的点为，故选A.7. 正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）ABCD参考答案：D【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值【解答】解：如图，设上下底面
5、的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即O1OD1，直角三角形OO1D1中，cosO1OD1=，故选D【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题8. 设全集UR，Ax|x23x0，Bx|x0Bx|3x1Cx|3x0 Dx|x1参考答案：B9. 若（为虚数单位，），则等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：A因为，则所以，故答案选A10. 某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方
6、法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是（ ） A19 B20 C18 D21参考答案：S略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正四面体ABCD的棱长为，四个顶点都在球心为O的球面上，过棱AB的中点M作用球O的截面，则截面面积的最小值为_.参考答案：.12. 已知x,y满足约束条件，求z=(x+1)2+(y-1)2的最小值是 参考答案：13. 已知若函数的定义域是0,2，则函数的定义域是 参考答案：(0,1)略14. 如果（x21）+（x1）i是纯虚数，那么实数x= 参考答案：1【考点】复数的基本概念【分析】直接由实
7、部为0且虚部不为0列式求解【解答】解：（x21）+（x1）i是纯虚数，解得：x=1故答案为：115. 过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为 。参考答案：略16. 在正方体的8个顶点与12条棱的中点共20个点中,（i）在这20个点确定的平面中，有 个不同的平面垂直；（用数字作答）（ii）在这20个点确定的直线中, 有 条不同的直线垂直（用数字作答）参考答案：答案:（i） 5 （ii） 27 17. 命题“?x1，1，x23x+10”的否定是参考答案：?x1，1，x23x+10考点： 命题的否定专题： 简易逻辑分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答： 解：因为特称命题的
8、否定是全称命题，所以命题“?x1，1，x23x+10”的否定是：?x1，1，x23x+10故答案为：?x1，1，x23x+10点评： 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）（1）当时，曲线与曲线有两个交点.求的值;（2）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围.参考答案：解：的方程是，消去参数，得 2分曲线的方程即转化为直角坐标方程为： 5分（1）当时，联立化简得：
9、即 6分（2）曲线与曲线只有一个交点?相切时,将 代入得只有一个解得 8分?相交时，如图: 综上：曲线与曲线只有一个交点时 或 10分19. 已知函数。（1）当a = 3时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围。参考答案：略20. 已知函数（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；（2）若对任意，都有，求a的取值范围参考答案：解：（1）由，得，令，则，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以（2）由题可知函数在上单调递减，从而在上恒成立，令，则，当时，所以函数在上单调递减，则；当时，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，通过求函数的导数可知它在上单调递增，故综上
10、，即的取值范围是21. （14分）设函数f（x）=x?lnx+ax，aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数y=f（x）在，e上的最小值；（）若g(x)=f(x)+ax2(2a+1)x，求证：a0是函数y=g（x）在x（1，2）时单调递增的充分不必要条件参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，计算f（1），f（1），求出切线方程即可；（）求出f（x）的最小值，通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调性，从而确定f（x）在闭区间的最小值即可；（）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围分别证明充
11、分性和必要性即可【解答】解：（）由f（x）=xlnx+ax得：f（x）=lnx+a+1当a=1时，f（x）=lnx+2，f（1）=1，f（1）=2，求得切线方程为y=2x1（）令f（x）=0，得x=e（a+1），当e（a+1），即a0时，x，e时f（x）0恒成立，f（x）单调递增，此时f（x）min=f（）=当e（a+1）e，即a2时，x，e时，f（x）0恒成立，f（x）单调递减，此时f（x）min=f（e）=ae+e，当e（a+1）e，即2a0时，x，e（a+1）时，f（x）0，f（x）单减；x（e（a+1），e）时，f（x）0，f（x）单增，此时f（x）min=f（e（a+1）=e（a+1
12、），（9分）（）g（x）=f（x）+ax（2a+1）=lnx+a（x1），当a0时，x（1，2）时lnx0，a（x1）0，g（x）0恒成立，函数y=g（x）在x（1，2）时单调递增，充分条件成立；又当a=时，代入g（x）=lnxx+，设h（x）=g（x）=lnxx+，x（1，2），则h（x）=0恒成立当x（1，2）时，h（x）单调递增又h（1）=0，当x（1，2）时，h（x）0恒成立而h（x）=g（x），当x（1，2）时，g（x）0恒成立，函数y=g（x）单调递增必要条件不成立综上，a0是函数y=g（x）在x（1，2）时单调递增的充分不必要条件（14分）【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题22. （本小题满分13分）从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生升高均在之间，将结果按如下方式分成八组，第一组,第二组第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组和第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件事件，求.参考答案：
