名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 精品学问点第三章 直线与方程学问点及典型例题1. 直线的倾斜角定义： x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角；特殊地，当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度；因此，倾斜角的取值范畴是 0°≤＜α180°2. 直线的斜率①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率；直线的斜率常用 k 表示；即 k= tan ；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , α=0°, k = tan0 =°0;当直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90k°不, 存在 .当 0 ,90时， k0 ； 当90 ,180时， k0 ； 当 90 时， k 不存在；例.如右图，直线 l 1 的倾斜角 =30°，直线 l 1⊥ l 2，求直线 l1 和 l2 的斜率 .y解： k1= tan30° =3 ∵ l31⊥ l 2∴ k1· k2= — 1 l121 x∴ k2 = — 3o例： 直线 x3 y 50 的倾斜角是 〔 〕 l 2A.120 ° B.150° C.60° D.30°② 过两点 P1 〔x1， y1〕、P1〔x1， y1〕 的直线的斜率公式 ： ky2 y1x2 x1〔 x1x2 〕留意下面四点：〔1〕 当x1 x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；〔2〕 k 与 P1、P2 的次序无关；〔3〕 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；〔4〕 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到；例.设直线 l 1 经过点 A〔 m， 1〕、B〔 — 3，4〕，直线 l 2 经过点 C〔1， m〕、D〔 — 1，m+1〕 ，当〔1〕 l 1/ / l 2 〔2〕 l 1⊥ l 1 时分别求出 m 的值※三点共线的条件： 假如所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线；3. 直线方程①点斜式： y y1k〔 xx1 〕 直线斜率 k，且过点x1, y1留意： 当直线的斜率为 0°时， k= 0，直线的方程是 y=y1；当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在， 它的方程不能用点斜式表示． 但因 l 上每一点的横坐标都 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 精品学问点等于 x1 ，所以它的方程是 x= x1；②斜截式： y= kx+b，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b③两点式：（ x x, y y ）直线两点 P〔 x ， y〕、P〔x ， y 〕yy1xx1yyxxx ay b1其中直2 1 2 11 2 1 21 1 11 1 1④截矩式：线 l 与 x 轴交于点 〔a， 0〕，与 y 轴交于点 〔0， b〕,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a、 b；留意： 一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情形 ①两个截距都不为 0 ②或都为 0 ；x y但不行能一个为 0，另一个不为 0. 其方程可设为： 1 或 y= kx .a b⑤ 一般式： A x+By+C=0 （ A ， B 不全为 0）留意： 〔1〕在平常解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式；各式的适用范畴 〔3〕 特殊式的方程如：平行于 x 轴的直线： yb （ b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： xa （ a 为常数）；例题： 依据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：〔1〕斜率是 1 ，经过点 A〔8 ， —2〕 ； .2〔2〕经过点 B〔4,2〕 ，平行于 x 轴； .〔3〕在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 3 , 3 ； .2〔4〕经过两点 P1〔3， — 2〕、P2〔5， —4〕； .例 1： 直线 l 的方程为 Ax+B y+C= 0，如直线经过原点且位于其次、四象限，就（ ）A ． C= 0， B>0 B． C= 0， B>0， A>0C． C= 0， AB<0 D ．C= 0，AB>0例 2： 直线 l 的方程为 A x—B y— C= 0，如 A 、B 、C 满意 AB.>0 且 BC<0 ，就 l 直线不经的象限是（ ）A ．第一 B ．其次 C．第三 D ．第四4. 两直线平行与垂直当 l1 : yk1 xb1 ， l 2 : yk 2 xb2 时，l1 // l 2k1 k2 , b1b2 ； l1 l 2k1k2 1留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时，要留意斜率的存在与否；5. 已知两条直线 l 1： A 1x+B1y+C 1= 0， l 2：A 2x+B2 y+C 2= 0，〔A 1 与 B1 及 A 2 与 B2 都不同时为零 〕如两直线相交，就它们的交点坐标是方程组A 1 xA 2 xB1 y C1B2 y C 20的一组解；0 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 精品学问点两条直线的交角：两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角： 两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角， 是指由l 1 与 l 2 相交所成的四个角中最小的正角 ，又称为l 和 l 所成的角，它的取值范畴是0, ，当 90 ，就有tank 2 k1 .1 22 1 k1 k 2如方程组无解l1 // l 2； 如方程组有很多解l1 与 l 2 重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元素 代数表示点 P 坐标 P〔xo， yo〕直线 l 方程 A x+B y+C= 0点 P〔xo， yo〕在直线 l 上 坐标〔x0 ,y0 〕满意方程： A x+By+C = 0点 P〔xo， yo 〕是 l 1、l 2 的交点 坐标 〔xo， yo〕满意方程组A 1 xA 2 xB1 y C1 0B2 y C 2 07. 两条直线的位置关系的判定公式A1 B2— A 2B1≠ 0 方程组有唯独解 两直线相交A 1B2B1C 2A 2 B1 0B 2C 1 0,无解 两直线平行或 A 1C2— A 2C1 ≠ 0A 1B 2B1C 2A 2 B1 0B 2 C 1 0有很多个解 两直线重合或 A1C 2— A2C 1 = 0两条直线垂直的判定条件： 当 A 1、B 1、A 2 、B2 满意 时 l 1⊥ l2；答： A 1A 2+B 1B2 =0经典例题；例 1.已知两直线 l1： x+〔1+ m〕 y = 2—m 和 l2： 2mx+4 y+16 = 0， m 为何值时 l 1 与 l2①相交②平行解：例 2. 已知两直线 l1： 〔3a+2〕 x+〔1 — 4a〕 y + 8= 0 和 l 2：〔5a— 2〕x+〔a+4〕y— 7=0 垂直，求 a 值解：例 3.求两条垂直直线 l 1：2x+ y +2= 0 和 l 2： mx+4y— 2= 0 的交点坐标解：例 4. 已知直线 l 的方程为 y1 x 1，2〔1〕求过点（ 2， 3）且垂直于 l 的直线方程； 〔2〕 求过点（ 2， 3）且平行于 l 的直线方程； 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 精品学问点8. 两点间距离公式： 设 A〔 x1， y1〕、 B〔 x2， y2〕是平面直角坐标系中的两个点，就|AB|=〔 x2x 〕 2〔 y2y 〕2119. 点到直线距离公式： 一点 P〔xo， yo〕到直线 l： A x+By+C = 0 的距离 d| Axo Byo C |A 2 B 210. 两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l 1：A x+B y+C 1= 0， l 2： Ax+By+C 2= 0，就 l 1 与 l2 的距离为 dC 1 C 2A 2 B2例 1：求平行线 l1： 3x+ 4y — 12= 0 与 l 2： ax+8y+11= 0 之间的距离；例 2：已知平行线 l 1： 3x+2y — 6= 0 与 l 2： 6x+4 y— 3= 0，求与它们距离相等的平行线方程；11. 直线系方程已知两条直线 l1： A 1x+B1y+C 1= 0， l 2： A 2x+B 2y+C 2= 0， 〔A 1 与 B1 及 A 2 与 B 2 都不同时为零 〕如两直线相交，就过它们的交点直线方程可以表示为：l： A 1x+B1y+C 1+ 〔A 2x+B 2y+C2〕 = 0 或者 〔A 1x+B 1y+C 1〕+ A 2x+B 2y +C2 = 0 都可以例 1：直线 l ： 〔2m+1〕 x+〔m+1〕 y— 7m— 4= 0 所经过的定点为 ；〔m ∈R〕例 2：求满意以下条件的直线方程〔1〕 经过点 P〔2，3〕及两条直线 l 1： x+3y— 4= 0 和 l2： 5x+2y+ 1= 0 的交点 Q；〔2〕 经过两条直线 l 1： 2x+y— 8= 0 和 l 2： x— 2y+ 1= 0 的交点且与直线 4x—3y—7= 0 平行； 〔3〕 经过两条直线 l 1： 2x— 3y+10= 0 和 l 2： 3x+4 y—2= 0 的交点且与直线 3x—2y+4= 0 垂直；解：12. 中点坐标公式：已知两点 P〔x ， y〕 、P〔x ， y〕，就线段的中点 M 坐标为 〔x 1 x 2 ，y1 y2〕1 1 11 1 12 2例. 已知点 A〔7 ，— 4〕、B〔 — 5。