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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第十四章赛题选讲 14.1节水洗衣机问题问题（ CUMCM1996 B题）我国淡水量有限，节省用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已特别普及，节省洗衣机用水特别重要， 假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂水脱水加水 漂洗脱水加水漂洗脱水（称“加水漂水脱水”为运行一轮）；请为洗衣机设计一种程序， 确定洗涤轮数以及每一轮的加水量等， 使得在满意肯定洗剂成效的条件下， 总的用水量达最少； 选用合理的数据进行运算， 对比目前常用的洗衣机的运行情形，对你的模型和结果做出评判；一模
2、型假设1衣物有相同的质地，0 为一仅与布料有关的参数， 表示衣服布料的亲水性，即在一般的空气湿度、布料被充分浸湿的前提下，再经肯定 强度（洗衣机）下充分脱水后，（衣物湿重- 衣物干重） / 衣物干重；2假设在放入衣物和洗涤剂（有害物）后洗衣机的运行过程为：加水漂水脱水加水漂洗脱水加水漂洗脱水，即除了首轮洗涤外，不再投放洗涤剂，且洗涤剂的一次投放量足够多，在首轮 洗涤过程中，洗涤剂以及衣物上附着的污物可以得到充分溶解；3W 为待洗衣物的（干）重量，所附着污物的质量可以忽视，D0 为投放洗涤剂的重量， 而Dt t1.n 表示经连续 t 轮洗涤后， 残留在衣物中洗涤剂的量， n表示总的洗涤轮数；4C
3、 0 为清洁衣物的健康指标， 表示在单位重量的衣物中存留的洗涤剂量的上限，即只有在D n / WC 0 ，方才达到洗涤要求；5WV1 、Vt t2.n 分别表示在首轮、第tt2.n 轮洗涤时的加水量； Vmin ,Vmax 分别表示最小、最大加水量，即VminVtVmax t1.n ；6经每轮洗涤，洗涤剂在水中和衣物中的安排可达到平稳，即经充分漂洗；这里假设经连续 t 轮洗涤后，残留在衣物中洗涤剂的量D t 相当于 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -D t 1 完全匀称地溶于WVt
4、，经脱水将溶于W 的部分残留在衣物中；二模型建立 ：Mins.t .DnWVtt 10WW.WCWV1nNWVminV2VtVmaxWVnW0t1.nnMinVtt 1nWs.t.D 0WC 0t 1WVtVminVtVmaxnNt1.n记1W ， C0C0 WD0 ，就模型可表示为：nMinVtt 1nC0s.t.1t 1 1VminVt nNVt Vmaxt1.nnMinVtt 1ns.t.1t 1Vt 1 / C0VminVtnNVmaxt1.n*三模型求解 定理：在总用水量 VW 肯定的条件下，平均安排每次加水量，实现的洗涤效果最好；即V1V2.VnV * / n为最优化问题nMax1
5、t 1Vt 0VminVtnVmax ,Vtt 1V *的解； 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -证明：1） 如VminVtVmax t1.n ，必有V*Vminnnt 1VtnVmax，即V1V2.VnV * / n为该最优化问题的一个可行解；nVV *2） 0,Vt0 ，1Vt 0 ；又tt 1，n1V tnt 1V；依据在算术平均数肯定的有些个正实数变量，当且仅当它们相等时，它们的几何平均数最大，可得本定理结论；因此，本文模型的求解归结为求解：Min s.t.n V1/C01
6、V nVminVVVVmaxnNTVVV明显，当max 需要的洗涤轮数最少：minln C0/ ln1max；当min 需要的洗涤轮数最多：Tmaxln / ln1Vmin （ x表示对 x 上取整）；因此C0C01/ n 1就 nTmin ,Tmin1,.,Tmax1 ， 必 对 应 解 ：V， 相 应 的 用 水 量 为n Vn1/ n 1，而 nC 0Tmax 对应的用水量为VminTmax ，从中取最小；四结果分析以下几个表是直接从当年竞赛优秀论文中摘抄的，我们在学习其在处理类似问题所采纳的形式之余， 同时也应当留意到这种方式以及相应结果的不足对于本例，采纳解析的方式加以争论将更加简洁
7、并可得到更为深化的结果；31） 表一：洗涤剂添加量D0 的变化对结果的影响，这里W3 kg，C00.0510，1/ 0.56 ，Vmin ,Vmax 25,40 升；D0（克）轮数（次）每轮用水量（升）总用水量（升）2032575 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -25325753032678353288440330904533193结论： 在其它条件肯定的情形下，洗涤剂添加量越少越省水；32） 表二：衣物亲（吸）水性系数1/的变化对结果的影响，这里W3 kg， C00.0510，
8、 D030 g，Vmin ,Vmax20,40 升；轮数（次）每轮用水量（升）总用水量（升）轮数（次）每轮用水量（升）总用水量（升）0.035201000.60325750.35424960.65323690.40421840.70321630.45420800.75320600.50420800.80320600.55420803结论：在其它条件肯定的情形下，亲水性越小越省水 （洗涤剂的洗涤成效越大越省水）；3） 表三：衣物重量 W 的变化对结果的影响，这里，C00.0510，D 030 g，1 / 0.56 ，Vmin ,Vmax20,40 升；（升）均总用水量（升）13206060232
9、16331.5332678264420802054218416.8W （千克）轮数（次）每轮用水量总用水量（升） 单位质量衣物平结论：在其它条件肯定的情形下，衣物越多越废水（衣物集中在一起洗）；五争论（不考虑加水有上下界的限制）：n V1） 用水量为1/ n C 0n1，视 n 为连续变量，考虑 0C01 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -f x _D=x D* I8.x 0.05-D1M名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -Plotxx10012108.x fxD- 1- 1 + 0.056.x2.995730.05- 1.x204060801002.99573DDxLimitfxx . +.2） 事实上，V * n;,W , D 0 , C0 WnnD 01C0 W用解析的方式对各个变量、参量进行灵敏度、稳固性等一系列分析；3） 进而发觉把一般的洗衣问题仅仅视作节水的问题进行建模是有缺陷的，应同时考虑节能、节时； 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
