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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题剖析】考察点 1：利用正弦定懂得三角形例 1在ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3, 求 a :b :c.【点拨】此题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式a :b :c=sinA: sinB: sinC求解；A : B : C1: 2 : 3,而ABC.解：A, B, C,632a : b :sinA : sin B : sin Csin: sin: sin1 :3:11:3 : 2.63222
2、【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到敏捷应用；例 2 在 ABC 中，已知c=2+6 ， C=30 ，求 a+b 的取值范畴；【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解；解： C=30， c=2+6 ，由正弦定理得：abc26 ,sin Asin Bsin Csin 30 a=22 +6 sinA,b=22 +6 sinB=22 +6 sin（ 150 -A ） .a+b=22 +6 sinA+sin150 -A= 22 +6 2sin75 cos75 -A=226cos75 -A当 75 -A=0，即 A=75时， a+b 取得最大值226=8+43
3、；A=180 -C+B=150 -B, A 150， 0 A 150,-75 75 -A 75， cos75 cos75 -A 1，226cos75 =22662 =2 +6 .4综合可得a+b 的取值范畴为 2 +6 ,8+ 43 考察点 2：利用正弦定理判定三角形外形例 3在 ABC中， a 2 tanB=b2 tanA ，判定三角形ABC的外形； 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判定ABC的外形；解：由正弦定理变式
4、a=2RsinA,b=2RsinB得：22R sin Asin B22R sin Bsin A,sinA cos Acos Bsin B cos B,cos A即 sin 2 Asin 2 B ，2 A2 B或 2 A2 B，AB或AB.2ABC 为等腰三角形或直角三角形；【解题策略】“在 ABC中，由 sin 2 Asin 2B 得 A= B”是常犯的错误， 应仔细体会上述解答过程中“A=B 或 A+B=2例 4”的导出过程；在 ABC中，假如 lg alg clgsin Blg2 ，并且 B 为锐角，试判定此三角形的外形；【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来
5、判定ABC的 外形；解：lgsin B2lg2,sin B.2又 B 为锐角， B=45 .由 lg alg clg2, 得 c2 . a2由正弦定理，得sin A2 ,sin C2 A18045C , 代入上式得：2 sin C2sin 135C2 sin135 cosCcos135 sin C2 cosC2 sin C,cos C0,C90 ,A45 .ABC 为等腰直角三角形；考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式例 5在 ABC中，求证a 2cos Ab2 cos Bb2 cosBc2 cosCc2cos Ca20 .cos A 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - -
6、 -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -【点拨】观看等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将a2， b2， c2 转化为 sin2A,sin 2B,sin 2 C .证明：由正弦定理的变式a2 R sinA, b2R sinB 得：a 2cos Ab2=cos B4R2 sin 2 Acos A4 R2 sin2 B cos B4R2（1- cos2A） -1-cos2Bcos Acos Bcos2 Bcos2 A4R2 cos Bcos Acos Ab 2同理 cos Bcos Bc2cos C4 R2 cos Ccos B,
7、22ca4 R2 cos AcosC .cos Ccos A左边 =4R2 cosBcos AcosCcosBcos AcosC0右边等式成立；【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角学问去解决，要留意体会其中的转化与化归思想的应用；例 6在 ABC中， a,b,c分别是角A,B,C 的对边， C=2B，求证 c2b 2【点拨】此题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.ab .证明：A BC180 ,BC180A.又C2B,CBB.sin BC sin180Asin A,c2b24 R2 sin 2 Csin 2 B4 R2 sin CsinB si
8、n Csin B 4 R22sin BC 2cos CB 22cos BC 2sin CB 24 R2 sin CBsin CB4 R2 sin等式成立 .A sinB ab右边.【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质； 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）2BABC22C., ABC,ABC ,2 A 222(2) sin ABsin C,cos ABcos C , tan AB tan C .(3) sinABcos C,cos ABsinC
9、, tan ABcot C .222222(4) sin2 A2 Bsin 2C,cos2 A2 Bcos 2C ,tan2 A2 B tan 2C .考察点 4：求三角形的面积例 7在 ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C 的对边， 如 a2, C,cos B25, 求 ABC的面积 S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边 c，再求面积；425解：由题意cos B25 ，得 cos B2cos 2 B13 ,B 为锐角，25sin B254 ,sin AsinBC sin 3B72 ,由正弦定理得c10 ,75410S1 ac sin B121048 .22757【解题
10、策略】在ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时常常用到，要记准、记熟，并能敏捷应用，ABC,sin ABsin C,cosABcosC ;sinAB2cos C ,cos ABsin C .222例 8已知 ABC中 a,b,c分别是三个内角A,B,C 的对边， ABC的外接圆半径为12，且 C,3求 ABC的面积 S 的最大值；【点拨】此题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用；解： SABC1 ab sin C1 2R sinA 2 R sin Bsin C22 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - -
11、- - - - - - - -3R2 sinA sin B3 R2 cos ABcos AB 23 R2 cos AB1 .22当cosAB1,即AB时， S ABCmax33 R2331441083.44【解题策略】 把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过争论三角函数值的取值，求得面积的最大值；考察点 5：与正弦定理有关的综合问题例 9已知 ABC的内角 A,B 极其对边a,b 满意aba cot Ab cotB, 求内角 C【点拨】此题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础学问，考察运算才能、分析才能和转化才能；解法 1：aba cotAb cotB,且ab2R （ R为 ABC的外接圆半径） ，sin Asin B
