《新华教育高中部数学同步人教A版必修四第二章平面向量-平面向量的数量积学习过程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新华教育高中部数学同步人教A版必修四第二章平面向量-平面向量的数量积学习过程（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -平面对量的数量积学习过程学问点一：平面对量的数量积rrrrrr（1） 定义：已知两个非零向量a 与 b ，它们的夹角是 ，就数量 | a |b |cos叫 a 与 b 的rrrrrr数量积，记作arb ，即有 a b= | a |b |cos，（ ）（2） .并规定 0 与任何向量的数量积为0.（3） 投影：“投影”的概念：作图rrr定义： | b |cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影 .投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负rr值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为
2、| b |；当= 180时投影为| b |.（4） 两个向量的数量积与向量同实数积的区分两个向量的数量积是一个实数，不是向量， 符号由 cos的符号所打算 .当 0rrrrrr90时， ab 0；当=90 时， arb =0；当 90 180时， arb 0.两个向量的数量积称为内积，写成a能省略，也不能用“”代替.b ；.符号“”在向量运算中不是乘号，既不rrrr在实数中，如a0，且 a b=0，就 b=0 ；但是在数量积中，如rra0，且 ab =0，不能推出 b0 .由于其中cos有可能为0.（5）平面对量的数量积的几何意义：rrrrrr数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向
3、上投影 | b |cos的乘积 .rra brrr留意： b 在 a 方向上投影可以写成a（6）平面对量的数量积的性质：rr设 a 、 b 为两个非零向量， 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -rrabrrrra b= 0rrrrrrrrrrrrr当 a 与 b 同向时， a brrraa a= | a |b |；当 a 与 b 反向时， ab =| a |b |. 特殊的 a a= | a |2或rrrra ba brra brra b cos=，利用这一关系，可求两个向量的夹角；
4、（7）平面对量数量积的运算律rrrr交换律：a bb arrrrrr数乘结合律：a b = ab =ab rrrrrrr安排律： a + b c =ac +bcrrrrrr说明：一般地， a b c a （ b c ）rrrrrrr a c b c ， c 0a br 2r 2有如下常用性质：aarrrurrrrurrrrur（ a b ）（ c d ） a c a d b c b drrr 2rrr 2（ab2a2a bb学问点二：平面两向量数量积的坐标表示rrrr（1） 已知两个非零向量ax1, y1 , bx2 , y2 ，就 a bx1 x2y1 y2 ，即两个向量的数量积等于它们对应
5、坐标的乘积的和；（2） 向量模的坐标表示r 2r22r22设 ax,y ，就raxy,即 axy.假如表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为rr x1 , y1 、x2 , y2 ，那么axx , yy , a xx 2 yy 221212121（3） 注意：如Ax1,y1 、Bx2 ,y2 ，就 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -uuuruuuruuurAB xx , yy , AB xx 2 yy 2AB21212121两点的距离或是线段的长度，这也是模的几何意义；（4
6、） 两个向量垂直的条件,所以的实质是A,B的rrrr设 a x1 , y1 , bx2 , y2 ，就 abx1 x2y1 y20（5） 两向量夹角的余弦公式rrrr（6） 设 两 个 非 零 向 量 arr x1 , y1 , b x2 , y2 ，是 a与 b 的 夹 角 ， 就 有a brra bx2x1x2y2y1 y2x2y2cos=1122学习结论（1） 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所打算 .（2） 数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题；（3） 两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，要留意两者的联系；典型例题rr
7、rrrrrrrr例 1 已知 a 与 b 都是非零向量， 且 a + 3 b 与 7 a5 b 垂直， a4 b 与 7 a2 b 垂直，rr求 a 与 b 的夹角 .rrrrr 2rrr 2解： 由 a+ 3 b 7 a5 b = 07a16a b15b=0rrrrr 2rrr 2 a两式相减：4 b 7 arrr 22a bb2 b = 07a30a b8b0r 2r 2代入或得：abrra brrrr1设 a 、 b 的夹角为，就 cos= a b = 2 ，又由于 = 60例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解析：如图：平行四边形ABCD中， ABDC ， AD
8、BC ， AC = ABAD| AC |2= | AB2AD | 2AB2AD2ABAD而 BD = ABAD， 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -|ABuuur 2 BD|=2AD |2AB2AD2 ABADuuur 2uuur 222AB2 AD| AB |2| BC |2| DC |2| AD |2 ACBD= 2=例 3. 如图，以原点和A5 ， 2为顶点作等腰直角OAB ，使B = 90 ，求点 B 和向量 AB的坐标 .答案 :B 点坐标7 ,23 32或2, 7 2；
9、 AB =3 ,7 22或7 , 3 22解析： 设 B 点坐标 x ， y ，就 OB = x ， y， AB = x5， y 2 OBABxx5 + yy2 = 0 即： x2 + y25x2y = 0又 | OB | = | AB | x2 + y2 = x52 + y22 即： 10x + 4y = 29x 210 x由y 25 x2 y04 y2973x1x22或2y371y222B 点坐标 7 ,23 3 ,2或27 2； AB =3 ,7 22或7 , 3 22例 4. 在 ABC 中， AB =2 ， 3， AC =1 ， k ，且 ABC 的一个内角为直角， 求 k 值.311313答案： k =2 或 k = 3或 k =23解析： 当 A = 90 时， ABAC = 0， 2 1 +3 k = 0k =2当 B = 90 时， ABBC = 0 ， BC = ACAB = 1 2， k 3 = 1， k3112 1 +3 k3 = 0k = 3313当 C = 90 时， ACBC = 0，1 + kk3 = 0 k =2 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
