《平面向量的数量积及运算律教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量的数量积及运算律教案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（一）、新课引入为什么定义平面对量数量积F在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力 F 所作的功W=FScos；S摸索： W是什么量？ F 和 S 是什么量？和向量有什么关系？W是标量（实数） ， F 和 S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量相互转化的桥梁；我们学过的向量运算ab,ab,a 结果都是向量； 因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要；（二）、新课学习新课学习阶梯一怎么定义平
2、面对量数量积摸索：仿照物理学功的定义：a ba b cos摸索：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义a *ba b sin，有什么几何意义？引导同学阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0；B1两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与 b ，作 OA a ， OB b ，就 ba（ ）叫 a 与 b 的夹角 （右图的夹角分别是什么）OAB2平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与 b ，它b们的夹角是 ，就数量 | a |b |cos叫 a 与 b 的数量积，记作a b ，OaA即有 a b= | a
3、|b |cos ，（ ） 并规定 0 与任何向量的数量积为0摸索：功怎么用数量积表示：F S数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践；新课学习阶梯二怎么全方位熟悉这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法讨论几何问题的正确工具；1 几何意义： “投影”的概念：作图 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载定义： |b |cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影摸索：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投
4、影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当= 0 时投影为| b |；当= 180 时投影为| b |几何意义：数量积a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b |cos 的乘积2代数性质（两个向量的数量积的性质）：（ 1） 两个非零向量a 与 b ， aba b= 0 （此性质可以解决几何中的垂直问题）；（ 2）两个非零向量a 与 b ，当 a 与 b 同向时， a b= | a |b |；当 a 与 b 反向时， a b=|a |b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（ 3） cos=a b| a |
5、b |（此性质可以解决向量的夹角问题）；（ 4） a a= | a |2， | a |a a ， aa b b cos（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（ 5） | a b | | a |b |（此性质要留意和肯定值的性质区分，可以解决不等式的有关问题）；3任何一种运算都满意肯定的运算律，以便利运算，数量积满意哪些算律？实数的运算律向量数量积运算律（交换律）ab=ba（结合律） abc=abc（安排律） ab+c=ab+acab.baa b c.a b c a b c.a b a c a b. a b.a b摸索：运用对比联想的思想方法推测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运
6、算律？课 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例；从性质的分析知道，数量积是应用特别广泛和敏捷的，涉及代数和几何甚至跨学科的学问，因此学习数量积是为了能够应用它解决问题；新课学习阶梯三怎样用定义、性质解决问题（范例讲解）例 1（巩固概念）判定以下各题正确与否：（ 1）如 a=0 ，就对任一向量b ，有 a b= 0 （ 2）如 a0 ，就对任一非零向量b ，有 a b0 （ 3）如 a0 ， a b= 0，就 b= 0
7、（ 4）如 a b= 0，就 a、 b 至少有一个为零 （ 5）如 a0 ， a b=a c ，就 b=c （ 6）如 a b=a c ，就 b=c 当且仅当 a0 时成立 （ 7）对任意向量a 、 b 、 c ，有 a b ca bc （ 8）对任意向量a ，有 a 2 = | a |2 0例 2（课本 P118）已知a =5， b =4，向量 a 与 b 夹角是 120 ，求 a b （课本资源升华）同学回答：a b = 10（以下变形向量a 与 b 均为非零向量）0变形 1：已知a =5， b =4，向量 a 与 b 夹角是 120 ，求 ab摸索：求长度，怎样将长度和数量积建立起关系？
8、22ab 2= ab abab2a b =25+16 10=21，所以 ab =21 ；变形 2：已知三角形ABC 的边 AB=5 ，BC=4 ， ABC=120 0，求边 AC ；启示： 这个问题看似和向量无关，要想运用向量的学问，必需构造向量， 突破点是如何构造向量；提问同学或老师讲解：ACABBC ，222ACABBC2ABBC=25+16+2 5 4 cos600=61, AC=61摸索：已知三角形两边一夹角肯定可求第三边吗？ 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎
9、下载变形 3：已知三角形ABC 的边 AB=5 ，BC=4 ， sin ABC= 3 ,求边 AC ；5摸索：已知正弦值，如何求余弦值，几解？变形 4：已知a =5， b =4， ab =21 ，求向量 a 与 b 的夹角； 摸索：建立长度和角度的关系是数量积的一个重要功能，先求a b ；变形 5：已知a =5， b =4， a 在 b 上的投影是2，求 a b 及 a 与 b 的夹角；变形 6：已知 ab =5， ab =4， 求 a b ；摸索：求数量积，怎样将长度和数量积建立起关系？22ab 2= ab abab2a b =25，ab 222= ab abab2a b =16，两式相减得
10、：4 ab =9， a b = 94点评：解决该问题，不仅局限于长度和数量积的关系，仍运用了方程这一代数味很浓的思想；变形 7：已知 ab = ab =4 ，求 a b ；能求向量a 与 b 的夹角吗？能求a 吗？如不能求，你能补充一个合适的条件求出a 吗？启示：除了用数量积的运算性质求出a b ，你仍能从向量加减法运算的几何意义给出说明吗？变形8：已知 a =5， b =4，向量 a 与 b 夹角是1200，求使向量ab 与 ab 的夹角是锐角的实数 的取值范畴；摸索：夹角是锐角如何用数量积表达？（ab ） （ ab ） 0变形 9：向量 a 与 b 都是非零向量， 且 a3b 与 7a5b
11、 垂直， a4b 与 7a2b 垂直， 求向量 a 与b 的夹角解：由 a + 3 b 7 a5 b = 07 a 2 + 16 a b15 b 2 = 0 a4 b 7 a2 b = 07 a 230 a b+ 8 b 2 = 0两式相减： 2 a b=b 2 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载代入或得：a 2 =b 2设 a 、 b 的夹角为，就 cos=a bb 21| a |b |2 | b |22= 60通过以上问题的变式探究：问题涉及无非是向量的模（长度
12、）、向量的夹角（三角形或多边形的内角或其补角） 、数量积三个量的关系；这是向量数量积定义的灵魂，同时，数量积运算也是沟通实数和向量的桥梁；新课学习阶梯四课堂练习1 | a |=3,|b |=4, 向量 a + 3 b 与 a -43 b 的位置关系为（）4A 平行BC夹角为D不平行也不垂直32 已知 | a |=2,|b |=5,a b =-3, 就| a + b |= ,|a - b |=3 设 | a |=3,|b |=5, 且 a + b 与 a b 垂直，就 新课学习阶梯五学会小结同学自我归纳；新课学习阶梯六制造性学习（备用）CB如图 P 是正方形ABCD的对角线 BD上的一点， PFAE是矩形，猜猜：不论P 点位置如何， PC和 EF 是否总相等且垂直？提示：这是一个平几问题，没有向量的踪迹，怎样构造向量、制造性地运PE用数量积运算解决？DFA摸索：如何建立基向量；将PC 和 EF 看成向量，用基向量表示；运算PC , EF 是否相等；运算PC EF 是否为零；解析：设 DA =a ， DC = b ，就 DB = a + b ，设 DP = （ a + b ），CPCDDP = b + （ a + b ） = a + （ 1） b ，明显 DF = DA = a ， FA1 a ，就 EF = EP+ PD + DF =（
