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1、湖南省衡阳市耒阳市龙塘中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙、丙、丁四们同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级. 老师说:“你们四人中有2人A等,1人B等,1人C等,我现在给甲看乙、丙的成绩等级,给乙看丙的成绩等级,给丙看丁的成绩等级”.看后甲对大家说:“我知道我的成绩等级了”.根据以上信息,则（ ）A.甲、乙的成绩等级相同 B.丁可以知道四人的成绩等级C.乙、丙的成绩等级相同 D.乙可以知道四人的成绩等级参考答案：D2. 已知命题：若，则全为0；命题：，使。则
2、下列命题是真命题的是( )A. B. C. D. 参考答案：C3. 在正方体中，直线与平面所成的角为，则值为（ ）A、 B、 C、 D、参考答案：C4. 若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ）A. B. C. D. 参考答案：C略5. 已知等差数列an前n项和为Sn，若S15=75，a3+a4+a5=12，则S11=（）A109B99CD参考答案：C【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S11【解答】解：等差数列an前n项和为Sn，S15=75，a3+a4+a5=1
3、2，S11=11a1+=11+=故选：C6. 甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30方向走，当乙走了2千米到达B点时，两人距离恰好为千米，那么这时甲走的距离是 A. 千米 B2千米 C千米 D1千米参考答案：D略7. 过点P（4，1）且与直线3x4y60垂直的直线方程是（ ）A4x3y130 B4x3y190C3x4y160 D3x4y80参考答案：A略8. 圆在点处的切线方程为 （ ） A BC D参考答案：D略9. 如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）A. 0 B.1 C. 2 D.参考答案：A略10. 设A（3，0），B（3，0），若直线y=（x5）上存在一点
4、P满足|PA|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）ABC或D或参考答案：A【考点】双曲线的简单性质【分析】根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，求出双曲线的方程，联立方程组求出P的坐标即可得到结论【解答】解：A（3，0），B（3，0），P满足|PA|PB|=4|AB|，P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，其中c=3，2a=4，则a=2，b2=94=5，即双曲线方程为=1，若直线y=（x5）上存在一点P满足|PA|PB|=4，则有消去y得16x2+90x325=0，即（2x5）（8x+65）=0，得x=或（x=0舍），此时y=，即点P到z轴的距离为，故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每
5、小题4分,共28分11. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ；参考答案：132【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i11，退出循环，输出s的值为132【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i11，s=12，i=11满足条件i11，s=132，i=10不满足条件i11，退出循环，输出s的值为132故答案为：132【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查12. 在等比数列中，若2，则 . 参考答案：18略13. 若
6、正数、满足，则的最小值为 .参考答案：2514. 从区间0，1内任取两个数，则这两个数的和小于的概率为参考答案：【考点】几何概型【分析】设取出的两个数分别为x、y，可得满足“x、y（0，1）”的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，而事件“两数之和小于”对应的区域为正方形的内部且在直线x+y=下方的部分，根据题中数据分别计算两部分的面积，由几何概型的计算公式可得答案【解答】解：设取出的两个数分别为x、y，可得0x1且0y1，满足条件的点（x，y）所在的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，其面积为S=11=1，若两数之和小于，即x+y，对应的区域为直线x+y=下方，且在正方形内
7、部，面积为S=1=由此可得：两数之和小于概率为P=故答案为：15. 两个球的半径相差1，表面积之差为28，则它们的体积和为_.参考答案：【分析】设两球的半径分别为，根据列出关于，的方程组，解出方程组，根据球的体积公式可得结果.【详解】设两球的半径分别为，两个球的半径相差1，表面积之差为，解得，它们的体积和为，故答案为.【点睛】本题主要考查了球的体积公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.16. （几何证明选讲选做题）如图，AD为圆O直径，BC切圆O于点E，ABBC，DCBC，AB=4，DC=1，则AD等于 参考答案：5考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题分析：先连接OE，根据切线的性质
8、得OEBC又ABBC，DCBC，O是AD中点，再根据梯形的中位线定理得出OE=（AB+DC），即可得出答案解答：解：连接OE，BC切圆O于点E，OEBC又ABBC，DCBC，ABOEDC，又O是AD中点，OE=（AB+DC），AD=2OE=5故答案为：5点评：本题考查的是切线的性质及中位线定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出垂直关系进行解答17. 若过椭圆内一点（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_参考答案：设弦AB的两个端点,则,两式作差变形可得,所以该弦所在直线的方程为,即.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （14分）已知
9、二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).() 求函数f(x)的表达式；() 证明:当a3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.参考答案：解：()由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1(x)= x2.设f2(x)=(k0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(,)，B(,)由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+.19. （2016秋?温江区期末）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其英语成绩分成六段40，50
10、），50，60），90，100）后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据补充完整频率分布直方图估计出本次考试的平均分数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？参考答案：【考点】频率分布直方图；分层抽样方法【分析】（1）计算分数在70，80）内的频率，利用求出小矩形的高，补出图形即可；（2）根据频率分布直方图，计算平均分与中位数即可；（3）根据分层抽样原理，计算各分数段内应抽取的人数即可【解答】解：（1）分数在7
11、0，80）内的频率为1（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）10=10.7=0.3又=0.03，补出的图形如下图所示；（2）根据频率分布直方图，计算平均分为：=450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05=71，估计这次考试的平均分是71；又0.0110+0.01510+0.01510=0.40.5，0.4+0.0310=0.70.5，中位数在70，80）内，计算中位数为70+73.3；（3）根据分层抽样原理，40，50）分数段应抽取人数为0.1020=2人；50，60）分数段应抽取人数为0.1520=3人；60，70）分数段应抽取人数
12、为0.1520=3人；70，80）分数段应抽取人数为0.320=6人；80，90）分数段应抽取人数为0.2520=5人；90，100分数段应抽取人数为0.0520=1人【点评】本题主要考查了频率分布直方图以及平均数、中位数的计算问题，也考查了分层抽样原理的运用问题，是基础题目20. 如图直线y=kx及抛物线y=xx2（1）当k=时，求由直线y=kx及抛物线y=xx2围成的平面图形的面积；（2）若直线y=kx分抛物线y=xx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值参考答案：【考点】抛物线的简单性质；定积分在求面积中的应用【分析】（1）求得交点坐标，利用定积分的几何意义，即可求得直线y=x及抛
13、物线y=xx2围成的平面图形的面积；（2）由题意可知求得抛物线与x轴所围图形的面积S，则抛物线y=xx2与y=kx两交点的横坐标为x1=0，x2=1k，即可求得=（xx2kx）dx，即可求得k的值【解答】解：（1）当k=时，解得：，由直线y=x及抛物线y=xx2围成的平面图形的面积S=（xx2x）dx=（x2x3）=，直线y=x及抛物线y=xx2围成的平面图形的面积；（2）抛物线y=xx2与x轴两交点的横坐标x1=0，x2=1，抛物线与x轴所围图形的面积S=（xx2）dx=（）=由可得抛物线y=xx2与y=kx两交点的横坐标为x1=0，x2=1k，所以=（xx2kx）dx=（x2）=（1k）3又S=，所以（1k）3=于是k=1=1，所以k的值为121. 已知向量，记() 若，求证：向量和不可能共线；() 若,求函数的最大值.参考答案：解：（I）（反证法）。假设与共线, 则， 3分 则而这是不可能的，矛盾.和不可能共线。
