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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2.1 一元线性回来模型有哪些基本假定？答： 1.说明变量x1 ,x2 ,xp , 是非随机变量，观测值xi1,xi 2 , xip是常数；2. 等方差及不相关的假定条件为E i 0,i2 ,i1,2, njcov i ,j 0,ii , jj1,2, n这个条件称为高斯 - 马尔柯夫 Gauss-Markov 条件，简称 G-M条件；在此条件下，便可以得到关于回来系数的最小二乘估量及误差项方差 2 估量的一些重要性质，如回来系数的最小二乘估量是回来系数的最小方差线性无偏估量等；3. 正态分布的假定条件为
2、i N 0,2 ,i1,2, n1,2,n相互独立在此条件下便可得到关于回来系数的最小二乘估量及2 估量的进一步结果，如它们分别是回来系数的最及2 的最小方差无偏估量等，并且可以作回来的显著性检验及区间估量；4. 通常为了便于数学上的处理，仍要求np, 及样本容量的个数要多于解释变量的个数；p在整个回来分析中，线性回来的统计模型最为重要；一方面是由于线性回来 的应用最广泛； 另一方面是只有在回来模型为线性的假设下，才能的到比较深化和一般的结果； 再就是有很多非线性的回来模型可以通过适当的转化变为线性回来问题进行处理；因此，线性回来模型的理论和应用是本书讨论的重点；1. 如何依据样本的估量 ;
3、xi 1, xi 2 , xip; yi i1,2,n 求出0 ,1,2 ,及方差22. 对回来方程及回来系数的种种假设进行检验；3. 如何依据回来方程进行猜测和掌握，以及如何进行实际问题的结构分析；2.2 考虑过原点的线性回来模型yi1xii ,i1,2,n 误差1,2 , n 仍满意基本假定；求1 的最小二11乘估量；答： Q1 n yii 1E yi 2n yii 1x 2 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -Qn21i 1 yi1 xi xin2xi yii 1nx221i
4、i 1令Q0, 即1nnx02xi yi1i i 1i 1解得 .nxi yii 1, 即. 的最小二乘估量为.nxi yii 1.1n11nxx22iii 1i 12.3证明： Q 0 ，1 = yi -0 -1 xi 2由于 Q 0 ,1 =min Q 0 ,1 201RQ0Q0而 Q ,非负且在yi上可导 , 当 Q 取得最小值时，有.01yi即-2 -0 -1 xi =0-2-0 -1 xi xi =0又 ei = yi -0 +1 xi =yi -0 -1 xi ei =0， ei xi=0（即残差的期望为0，残差以变量 x 的加权平均值为零）2.4 解：参数 0， 1 的最小二乘估
5、量与最大似然估量在 iN0, 2 i=1,2 ，n 的条件下等价；证明：由于i N 0,2, i1,2,.n所以Yi01 X 1i N 021 X 1 ,其最大似然函数为21nfL0 ,1 ,ni 1iYi 2in2 n / 221exp2n2Yi0i 110 , X i 2 Ln L0 ,1 ,2 ln 2222i 1Yi010 ,X 2，0已知使得 Ln（L）最大的. 就是，的最大似然估量值；01Q即使得下式最小：nYi1Y. 2n1X2.1iYi0.1i由于恰好就是最小二乘估量的目标函数相同；2所以，在i N 0, i1,2,.n的条件下，参数0，1 的最小二 第 2 页，共 18 页
6、- - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -乘估量与最大似然估量等价；2.5. 证明0 是0 的无偏估量；证明：如要证明0 是0 的无偏估量，就只需证明E0 =0 ；由于0 ，1 的最小二乘估量为1Lxy0y/ L xx1 x其中Lxy xix yiyxi yinxy1iixi yixiyi nLxx xix 2x 2nx 2x 21 inx 20E . =E yn.=Ex11x1nyin i 1xxxixni 1L xxyi=En1i 1nx xiL xxx) yi=Ei 1nn1xi0L xx0x xix 1
7、xini 1x xix1 xin 1x xix i=E其中i 1nL xx+E i 1nLxx+Ei 1nLxxn1i 1nx xix 0L xx=n10i 1nx xix L xx=10 nnx Lxxn xii 1xn由于 i 1xix=0，所以n1i 1nx xix 0L xx=0n1i 1nx xix L xx1 xi=xin1i 1nxx xix L xxnxi =1 xx Lxxnxii 1x) xi 1 x=L xx iyixi10x xi1 xi- x=i1 xx =0又由于一元线性回来模型为各i 独立同分布，其分布为N 0,2 所以 Ei =0 所以n1E i 1nx xix
8、 Lxx0+En1i 1nx xix Lxx1xii+En1i 1nx xix Lxx 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -= E0 E0n1i 1nx xix LxxEi =0所以0 是0 的无偏估量；y2.6 解：由于1nn i 1 yiyx，01n1，i 1xi x yiLxxn 1x xix y联立 式，得到0i 1nL xxi ；Var n1Var x xix y n 1x xix2Var yi 0i 1nL xxii1nLxxn2 1 x xi2x 2x xix 2i 1nLxxnLxxL xx由于n1i xi2nxxix， i 10，所以Var n2xii 1n12x02 x2n2 x i 1 xix2i 1 nL xxnLxx21x221 x2xinn2nL xxxi 12.7 证明平方和分解公式： SST=SSE+SSR证明：n2SSTyiyi 1n yii 1y.i y.iy 2nny.y 22yy. y.ynyy. 2iiiiii i 1i 1i 122nny.iyyiy.i SSRSSEi 1i 12.8 验证三种检验的关系，即验证： 第 4 页，共 18 页 -
