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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 讲 找规律 一这一讲我们先介绍什么是 “数列” ，然后讲如何发觉和查找 “数列”的规律；按肯定次序排列的一列数就叫数列；例如，11 ，2，3，4，5， 6，21 ，2，4，8，16，32；31 ，0，0，1，0， 0， 1，41 ，1，2，3，5， 8， 13；一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项；如，数列 1 的第 3 项是 3，数列2 的第 3 项是 4；一般地，我们将数列的第n 项记作 an；数列中的数可以是有限多个，如数列24，也可以是无限多个，如数列13；很多数列中的数
2、是按肯定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发觉这些规律；数列1 是根据自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项 =前项+1，或第 n 项 ann；数列2 的规律是：后项 =前项 2，或第 n 项数列3 的规律是：“ 1，0，0”周而复始地显现；数列4 的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13；常见的较简洁的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关；例如数列12；其次类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律；例如数列34；第三类是数列本身要与
3、其他数列对比才能发觉其规律；这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例 4 来作一些说明；例 1 找出以下各数列的规律，并按其规律在 内填上合适的数：1 4，7，10，13， ，2 84，72， 60， ， ；3 2，6，18， ， ，4 625， 125，25， ， ；5 1，4，9，16， ，6 2，6，12，20， ， ，解： 通过对已知的几个数的前后两项的观看、分析，可发觉(1) 的规律是：前项 +3=后项；所以应填16；(2) 的规律是：前项 -12= 后项；所以应填48，36；(3) 的规律是：前项 3=后项；所以应填54，162；(4) 的规律是：前项 5=后项；所以应填5， 1；
4、(5) 的规律是：数列各项依次为1=11， 4=2 2， 9=3 3， 16=4 4，所以应填 55=25；(6) 的规律是：数列各项依次为2=12，6=23，12=34，20=45， 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以，应填 5 6=30， 6 7=42；说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an 可以用 n 来表示；各数列的第n 项分别可以表示为1 an 3n +1；2 an96-12n；3 an-15-n2n 2 3； 4 an 5； 5 an n ；6 an
5、 nn+1 ；这样表示的好处在于，假如求第100 项等于几，那么不用一项一项地运算，直接就可以算出来，比如数列1 的第 100 项等于 3 100+1=301；本例中，数列24只有 5 项，当然没有必要运算大于5 的项数了；例 2 找出以下各数列的规律，并按其规律在 内填上合适的数：1 1，2，2，3，3，4， ， ； 2 ， ，10，5，12，6，14， 7； 33 ，7，10， 17，27， ；41 ，2，2，4，8， 32， ；解： 通过对各数列已知的几个数的观看分析可得其规律；(1) 把数列每两项分为一组，1， 2， 2， 3， 3， 4，不难发觉其规律是：前一组每个数加 1 得到后一
6、组数，所以应填4，5；(2) 把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是 2，且由 5，6，7 的次序知，应填8， 4；(3) 这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填 17+27=44 ；(4) 这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填8 32=256；例 3 找出以下各数列的规律，并按其规律在 内填上合适的数：1 18，20， 24，30， ；2 11，12， 14，18， 26， ；3 2，5，11，23，47， ， ；解： 1 因 20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明 后项- 前项 组成一新数列 2，4，6，其规律
7、是“依次加2”，由于 6 后面是 8，所以， a5-a 4=a5-30=8，故a5=8+30=38；2 12-11=1，14-12=2， 18-14=4 ， 26-18=8 ，组成一新数列 1，2，4，8，按此规律， 8 后面为 16；因此， a6-a 5a6-26=16，故 a616+26=42；3 观看数列前、后项的关系，后项=前项 2+1，所以 a6=2a5+1247+1 95，a72a6+1 295+1=191；例 4 找出以下各数列的规律，并按其规律在 内填上合适的数：1 12，15， 17，30， 22 ，45， ， ；22 ，8，5，6，8， 4， ， ；解： 1 数列的第 1，
8、3，5，项组成一个新数列12，17， 22 ，其规律是“依次加 5”， 22 后面的项就是 27；数列的第 2， 4， 6，项组成一个新数列15，30，45，其规律是“依次加15”， 45 后面的项就是 60；故应填 27，60；2 如1 分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，中， 8 后面的数应为 11；由偶数项组成的新数列8，6，4，中， 4 后面的数应为 2；故应填 11，2；练习 5按其规律在以下各数列的 内填数；1.56 ，49， 42，35， ；2.11 ， 15 ， 19 ， 23 ， ， 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料
9、- - - - - - - - - - - - - - -3.3 ，6，12，24， ；4.2 ，3，5，9，17， ，5.1 ，3，4，7，11， ；6.1 ，3，7，13， 21， ；7.3 ，5，3，10， 3， 15， ， ；8.8 ，3，9，4，10， 5， ， ；9.2 ，5，10，17，26， ；10.15 ， 21，18， 19，21，17， ， ；11. 数列 1， 3， 5， 7， 11，13，15， 17；(1) 假如其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？(2) 假如其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？答案与提示练习 51.28 ；2.27 ；3.48 ；4.3
10、3 ；提示：“后项 - 前项”依次为 1， 2， 4 ，8，16，5.18 ；提示：后项等于前两项之和；6.31 ；提示：“后项 - 前项”依次为 2， 4，6，8，10；7.3 ，20；8.11 ，6；n9.37 ； 提示： a =n2+1；10. 24，15；提示：奇数项为15， 18，21， 24；偶数项为 21，19，17， 15；11. 1 缺 9，在 7 与 11 之间； 2 多 15，由于除 15 以外都不是合数；第 6 讲 找规律 二这一讲主要介绍如何发觉和查找图形、数表的变化规律；例 1 观看以下图形的变化规律，并根据这个规律将第四个图形补充完整；分析与解： 观看前三个图，从
11、左至右，黑点数依次为4，3，2 个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转90，所以第四个图如右图所示；观看图形的变化，主要从各图形的外形、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律；例 2 在以下各组图形中查找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数： 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解： 1 观看前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故第三个图形中的“？” =5 3 8 2=60；第四个图形中的“？” =21 2 3 2=7；2 观看前
12、两个图形中的已知数，发觉有10=8+5-3， 8=7+4-3 ，即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数；故第三个图形中的“？” =12+1-5=8；第四个图形中的“？” =7+1-5=3；例 3 查找规律填数：解： 1 考察上、下两数的差； 32-16=16， 31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？” =35-16=19，下面那个“？” =18+16=34；2 从左至右，一上一下地看，由1， 3， 5，？， 9，知， 12 下面的“？” =7；一下一上看，由6， 8， 10，12，？，知， 9 下面的“？” =14；例 4 查找规律在空格内填数：解： 1 由
13、于前两图中的三个数满意：256=4 64，72=612，所以，第三图中空格应填1215=180；第四图中空格应填169 13=13；第五图中空格应填2247=32；2 图中下面一行的数都是上一行对应数的3 倍，故 43 下面应填 433=129；87上面应填 873=29； 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 5 在以下表格中查找规律，并求出“？”：解：1 观看每行中两边的数与中间的数的关系，发觉 3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12；2 观看每列中三数的关系，发觉1+32=7，7+22=11，所以，？ =4+52=14；例 6 查
