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1、湖南省邵阳市中心学校高二数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用数学归纳法证明1+2+22+2n+1=2n+21（nN*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A1B1+2C1+2+22D1+2+22+23参考答案：C【考点】RG：数学归纳法【分析】通过表达式的特点，直接写出结果即可【解答】解：用数学归纳法证明1+2+22+2n+1=2n+21（nN*）的过程中，左侧的特点是，由1一直加到2n+1项结束所以在验证n=1时，左端计算所得的项为：1+2+22故选：C2. 直线x+y1=0的倾斜角为
2、（）ABCD参考答案：D【考点】直线的倾斜角【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小【解答】解：直线x+y1=0 即 y=x+，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，则 0，且tan=，故 =，故选D3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BC1与B1D1所成角为（ ）A30B45C60D90参考答案：C在正方体中，连接，则，为等边三角形，故，即与所成角为，即与所成角为故选4. 若直线平面，则条件甲：直线是条件乙：的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：D略5. 函数f（x）
3、=ln（x2+1）的图象大致是（）ABCD参考答案：A【考点】3O：函数的图象【分析】x2+11，又y=lnx在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案【解答】解：x2+11，又y=lnx在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，图象过原点，综上只有A符合故选：A6. 若点满足，点在圆 上，则的最大值为A. 6 B. 5 C. D. 参考答案：A7. 如果函数的导函数图像如右图所示，则函数的图像最有可能是图中的 ( )参考答案：A8. 设直线l与抛物线y2
4、=4x相交于A、B两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）参考答案：D【考点】抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系【专题】综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2）
5、，当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3将x=3代入y2=4x，得y2=12，M在圆上，r2=，直线l恰有4条，y00，4r216，故2r4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2r4，故选：D【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9. 若不等式ax+x+a0的解集为 ，则实数a的取值范围（ ）A a-或a B a C -a D a 参考答案：D10. 已知点，点，则 A B C D. 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共2
6、8分11. 向面积为S的ABC内任投一点P，则随机事件“PBC的面积小于”的概率为 参考答案：略12. 已知下列命题（其中a，b为直线，为平面）：若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线一定垂直于这个平面；若a，b，则ab；若ab，则过b有惟一与a垂直上述四个命题中，是真命题的有（填序号）参考答案：【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故错误；垂直于这条直线的直线与这个平面可以是任何的位置关系，故错误若a，b，则根据线面平行、垂直的性质，必有ab【解答】解：平面
7、内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，将“无数条”改为“所有”才正确；故错误；垂直于这条直线的直线与这个平面可以是任何的位置关系，有可能是平行、相交、线在面内，故错误若a，b，则根据线面平行、垂直的性质，必有ab，正确；若ab，则过b有且只有一个平面与a垂直，显然正确故答案为13. 如图3所示，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则 图3参考答案：30略14. 2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较
8、好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=3.2x+，则a=价格x（元）99.51010.511销售量y（件）1110865参考答案：40【考点】线性回归方程【分析】先计算平均数，再利用线性回归直线方程恒过样本中心点，即可得到结论【解答】解：由题意， =10， =8线性回归直线方程是，8=3.210+aa=40故答案为：40【点评】本题考查线性回归方程，利用线性回归直线方程恒过样本中心点是解题的关键15. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为入肺颗粒物如图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据列出的茎叶图（单位：毫克/每立方米），则甲、乙两地浓度的
9、中位数较低的是参考答案：乙【考点】茎叶图【专题】数形结合；定义法；概率与统计【分析】根据中位数的定义和茎叶图中的数据，得出甲、乙两地所测数据的中位数即可【解答】解：根据茎叶图中的数据知，甲地所测数据的中位数是0.066，乙地所测数据的中位数是0.062；所以较低的是乙故答案为：乙【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应利用茎叶图中的数据，得出结论，是基础题16. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】利用已知条件列出不等式，然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点
10、与两焦点构成顶角为120的等腰三角形，可得：，解得e=故答案为：17. 直线y=a与函数f（x）=x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是参考答案：（2，2）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数f（x）=x33x对应的大致图象，平移直线y=a即可得出结论【解答】解：令f（x）=3x23=0，得x=1，可求得f（x）的极大值为f（1）=2，极小值为f（1）=2，如图所示，当满足2a2时，恰有三个不同公共点故答案为：（2，2）三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，
11、且的两根分别为1和3.（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)的极值.参考答案：（1）由题可知：（2分），且的两根为1和3，即解得所以（4分）（2）由（1）可知，的两根为1和3，时，时，时，（6分）即是的极大值点，极大值（8分）是的极小值点，极大值（10分）19. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且成等比数列 （）求数列的通项公式； （）求数列的前项和公式参考答案：所以数列的前项和为. 12分略20. 已知动点在曲线上，点与定点的距离和它到直线：=的距离的比是 (1)求曲线C的方程。(2)点，的外角平分线所在直线为，直线垂直于直线，且交的延长线于点试求点与点连线的斜率的取值范围参考答案：解
12、：(1)设点到直线：=的距离为，由题意可得：， 化简得： 曲线的方程是； (2) 由题意可知,，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 又直线的方程为：，即圆心到直线的距离，即，或 略21. （本小题14分）.已知椭圆离心率,焦点到椭圆上的点的最短距离为. （1）求椭圆的标准方程. （2）设直线与椭圆交与M,N两点，当时，求直线的方程.参考答案：解：（1）由已知得， 椭圆的标准方程为6分 （2）设由得，8 10分直线方程为14分略22. 已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx2（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当AOB为锐角时，求k的取值范围（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点参考答案：【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合点O到l的距离，可求k的值；（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x2+y2=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点【解答】解：（1）由题意，或1；（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为：，又C、D在圆O：x2+y2=2上lCD：，即由，得，直线CD过定点（，1）
