名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学问导航第三讲 方阵问题同学排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列；假如行数与列数都相等，就 正好排成一个正方形，这种图形就叫 方队， 也叫做 方阵（ 亦叫 乘方问题） ；核心公式：1．方阵总人数 =最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数 =（方阵最外层总人数÷ 4）＋ 13．方阵外一层总人数比内一层总人数多 24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数× 2－1例 1: 学校同学排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有同学多少人.解析： 方阵问题的核心是求最外层每边人数；依据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数 =四周人数÷ 4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了；方阵最外层每边人数： 60÷ 4+1=16（人）整个方阵共有同学人数： 16× 16=256（人）；【 巩 固 1 】 某校五年级同学排成一个方阵，最外一层的人数为 60人. 问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级同学多少人？解析： 依据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数 =四周人数÷ 4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了；解： 方阵最外层每边人数： 60÷4＋ 1=16（人）整个方阵共有同学人数： 16×16=256（人）答：方阵最外层每边有 16人，此方阵中共有 256人；【 巩 固 2 】 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个. 晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析： 方阵每向里面一层，每边的个数就削减 2个. 知道最外面一层每边放14个，就可以求其次层及第三层每边个数 . 知道各层每边的个数，就可以求出各层总数；解法 1： 最外边一层棋子个数：（ 14-1 ）× 4=52（个）其次层棋子个数：（ 14-2-1 ）× 4=44（个）第三层棋子个数：（ 14-2 × 2-1 ）× 4=36（个） .摆这个方阵共用棋子： 52+44＋ 36＝ 132（个） 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解法 2： 仍可以这样想：中空方阵总个数 =（每边个数一层数） × 层数 × 4进行运算；（ 14-3 ）× 3× 4=132（个）答：摆这个方阵共需 132个围棋子；【巩固 3】一个正方形的队列横竖各削减一排共 27 人，求这个正方形队列原先有多少人？解析： 依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数× 2－ 1可知每边的人数是：〔 27 1〕2 14（人）原人数是： 14 14答：略；196 （人）【巩固 4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子 100 枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析： 这要用到方阵的公式逆运算， 100 必定是一个数的平方数由于 10 10 100 （人），并且是实心的方阵，所以最外层有 10 人；例 2： 参与中同学运动会团体操竞赛的运动员排成了一个正方形队列；假如要使这个正方形队列削减一行和一列，就要削减 33 人；问参与团体操表演的运动员有多少人？解析： 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列；从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是 5，去一行、一列就一共要去 9 人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数× 2－ 1解 ： 方阵问题的核心是求最外层每边人数；原题中去掉一行、一列的人数是 33， 就去掉的一行（或一列）· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·人数＝〔33 1〕2 17 人· · · · ·方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为 17 17 289 （人）【巩固】 参与军训的同学进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，假如去掉一行一列，请问：要去掉多少名同学？仍剩下多少名同学？ 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析： 如上图表示的是一个 4 行 4 列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（ 1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数；（ 2）去掉横竖各一排时，有且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点 A所示；因此去掉的总人数＝原每行人数× 2－ 1，或去掉的总人数＝削减后每行人数× 2＋ 1；此题中所求，即去掉的人数＝ 7× 2－ 1＝ 13（人）或去掉的人数＝（ 7－ 1）× 2＋1＝ 13（人）仍剩的人数＝（ 7－ 1）×（ 7－1）＝ 36（人）或仍剩的人数＝ 7× 7－ 13＝ 49－13＝ 36（人）答：假如去掉一行一列，要去掉 13 名同学，仍剩下 36 名同学；例 3： 解放军战士排成一个每边 12 人的中空方阵，共四层，求总人数？解法 1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数；（ 1）中实方阵总人数： 12×12=144（人）（ 2）第四层每边人数： 12-2 ×（ 4-1 ）=6（人）（ 3）空心方阵人数：（ 6-2 ）×（ 6-2 ） =16（人）（ 4）中空方阵人数： 144-16=128 （人）答：总人数是 128 人；小结： 中空方阵总人数 =外边人数×外边人数 - （内边人数 -2 ）×（内边人数 -2 ）解法 2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形；（ 1）每个长方形的长 =外边人数 - 层数 12-4=8 （人）（ 2）每个长方形的宽是层数： 4 人（ 3）总人数： 8× 4× 4=128（人） 答：总人数是 128 人；小结： 中空方阵总人数 =（每边人数 - 层数）×层数× 4【巩固 】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗；四个角上都插一面， 每边插 7 面；一共要预备多少面旗子？解析： 依据求外层个数的公式：（边数 -1 ）× 4〔7 1〕 4 24 （面） 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -答：略；例4： 一个街心花园如右图所示 . 它由四个大小相等的等边三角形组成 . 已知从每个小三角形的顶点开头，到下一个顶点匀称栽有 9棵花 . 问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解 析 ： ①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的 2倍.又知道每个小三角形的边上匀称栽 9株，就大三角形边上栽的棵数为： 9 2 1 17 （棵）；②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：〔17 1〕 348 （棵）；③ . 再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上 . 再运算大三角形栽花棵数时已经运算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为： 9 2 7 （棵）解： 大三角形三条边上共栽花：〔9 21 1〕 348 （棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：〔 9 2〕 321 （棵）整个花坛共栽花： 48 21 69 （棵）答：大三角形边上共栽花 48棵，整个花坛共栽花 69棵；【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第 5个，这个方阵共有多少人？解析： 如图，实心圆表示小明的位置，可以知道，这个队列每行都是 9人；解： 每行每列数：5 2 19 （人）共有 ： 9 9 81 （人）例 5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了 200 枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析 1： 利用“相邻两层之间，每层的总数相差 8”的特点，可知最外层共有棋子数：（ 200+8+8× 2+8× 3+8× 4）÷ 5＝ 56（个）最外层每边的棋子数： 56÷ 4+1＝ 15（个）解析 2： 如练习中的图，把棋子分成相等的四部分； 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -每一部分的棋子数： 200÷ 4＝ 50（个） 每一部分每排的棋子数： 50÷ 5＝ 10（个）最外层每边的棋子数： 10＋ 5＝15（个） 综合列式为： 200÷ 4÷ 5＋ 5＝ 15（个）答：最外边一层每边有 15 枚棋子；【巩固】 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四四周成每边三层的方阵，最外边一层每边 12 人，请问：彩车四周的少先队员共有多少人？解析 1： 请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发觉，有如下特点：（ 1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多 2；（ 2）每相邻两层之间，点的总数相差 8 个；最外层队员的总数：12 4 444 （人）三层共有队员的总数：44= 44〔 44368〕 〔 44288 2〕=108 （人）解析 2： 如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数： 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 12－ 3）× 3＝ 9× 3＝ 27（人）三层共有队员数： 27× 4＝ 108（人） 答：彩车四周的少先队员共有 108 人；这个问题仍有别的解法，请同学们自己试着做一下；课后作业1、如干名同学排成中实方阵就多 12 人，如要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加 1 人的方阵就仍差 9 人排满，请问：原有同学多少人？解析： 由于纵横两个方向各增加 1 人，因此不但将剩余 12 人摆上，而且仍差 9 人，说明一横行与一竖行的人数总和是 12＋ 9＝ 21 人；又由于纵横两个方向各增加 1 人，因此只有 1 人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用 21 人先加上被重复数过的 1 人，再除以 2，也就得到每边人数；列式为（ 21＋ 1）÷ 2＝11 人；求出每边人数，就可求出假 设排满后的人数，列式为 11× 11＝ 121 人，用 121 人减去差的 9 人就是原先人数，。