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1、欢迎来主页下载-精品文档说明：2021年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设；分和香分两档；其他各题的评阅，请严格依据本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9 小题 4 分为一个档次， 第 10、11 小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共8 小题，每道题8 分，满分64 分1设a,b 为不相等的实数，如二次函数f xx2axb 满意f a f b ，就f 2答案： 4.解：由己知条件及二次函数
2、图像的轴对称性，可得aba，即 2ab220 ，所以 f 242 ab4 2如实数满意costan1，就sincos4的值为答案： 2. 解：由条件知，cos2sin，反复利用此结论，并留意到cos2sin 21 ，得1 sincos4cos2sinsin 2sin 21sin1cos 22sincos22 3已知复数数列zn满意 z11, zn 1zn1ni n1,2, ，其中 i 为虚数单位，zn 表示zn 的共轭复数，就z2021答案： 2021 + 1007i 解：由己知得，对一切正整数n，有zn 2zn 11n1izn1ni1 n1izn2 i ,于是 z2021z110072i 2
3、0211007i 4在矩形ABCD 中， AB2, AD1 ，边 DC 上（包含点D、C）的动点 P 与 CB 延长线上（包含点B ）的动点 Q 满意条件DPBQ ， 就 PAPQ 的最小值为答案 3 4解：不妨设A 0 , 0 , B 2 , 0 , D 0 , l 设P 的坐标为（t , l（其中 0t2 ），就由 | DP| | BQ|得 Q 的坐标为（ 2， - t ，故 PAt ,1, PQ2t,t1 ,因此，PAPQt2t1 t1t 2t1t1 233 1当 t时，23PAPQmin42445在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为答案：255解：设正方体为ABCD-EFGH
4、，它共有12 条棱，从中任意取出3 条棱的方法精品文档欢迎来主页下载-精品文档C3共有12=220 种下面考虑使3 条棱两两异面的取法数由于正方体的棱共确定3 个互不平行的方向 （即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的 4 条棱两两共面，因此取出的 3 条棱必属于 3 个不同的方向可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法不妨设取的棱就是 AB ，就 AD 方向只能取棱 EH 或棱 FG，共 2 种可能当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时， AE 方向取棱分别只能82是 CG 或 DH 由上可知， 3 条棱两两异面的取法数为4 2=8，故所求概率为220556在平面直角坐标系xO
5、y 中，点集域的面积为 x, y x3y6 3xy60 所对应的平面区答案：24解：设 K 1x, y | x | 3 y |60 先 考 虑K 1 在 第 一 象 限 中 的 部 分 ， 此 时 有x3 y6 ,故这些点对应于图中的OCD 及其内部由对称性知，K 1 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部同理，设K 2x, y | 3x | y |60 ，就 K 2 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH及其内部由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K 1 、 K 2 中恰好一个所掩盖的部分，因此此题所要求的即为图中阴影区域的面积S由于直线 CD 的方程为 x3
6、y6 ，直线 GH 的方程为 3 xy6 ，故它们的交点P 的坐标为33由对称性知，13,22S8SCPG8424 227设为正实数，如存在实数值范畴为a,bab2 ，使得sinasinb2 ，就的取答 案 ： w 9 , 5 1 3 ,424解 ：s inas inb2 知 ，s inas inb1 ， 而sia,b w,2w ，故题目条件等价于：存在整数k,l kl ，使得w 2k2l 22w 2当 w4 时，区间 w,2 w 的长度不小于4，故必存在k ,l 满意式当 0w4 时，留意到 w5,2 w0,8 ，故仅需考虑如下几种情形：15(i) w2w，此时 w且 w无解；2224599
7、5(ii) w2 w，此时w;229134213913(iii) w2 w，此时w,得w4 22424综合 i 、ii 、 iii ，并留意到w4亦满意条件，可知9513w, 4248对四位数abcd 1a9,0b， c, d9 ，如 ab, bc, cd , 就称 abcd 为 P 类数；精品文档欢迎来主页下载-精品文档如 ab, bc, cd ，就称 abcd 为 Q 类数，用 NP 和 NQ 分别表示 P 类数与 Q 类数的个数，就 NP-NQ 的值为答案： 285解：分别记P 类数、 Q 类数的全体为A 、B，再将个位数为零的P 类数全体记为A0 ，个位数不等于零的尸类数全体记为A1
8、对任一四位数abcdA1 ，将其对应到四位数dcba ，留意到 ab, bc, cd1，故dcbaB 反之，每个dcbaB 唯独对应于从中的元素abcd 这建立了A1 与 B 之间的一一对应，因此有N P N Q| A | B | | A0| A1 | B | | A1 | 下面运算| A0| 对任一四位数abc0A0 ,b 可取 0, 1， ，9，对其中每个b ， 由 ba9及 bc9 知， a 和 c 分别有 999b 种取法，从而| A02|9bk 291019285 b 0k 16因此，N PN Q285 二、解答题：本大题共3 小题，满分56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
9、骤；9（此题满分16 分）如实数a ,b,c 满意 2a4b2c ,4a2b4c ，求 c 的最小值解：将 2a , 2b ,2 c 分别记为x, y, z，就x, y, z0 由条件知，x y2z, x2y z2 ，故 z2yx2 zy2 2z22 y 2zy4 8 分因此，结合平均值不等式可得，4yy121112113 3z2y 22 y4yy433 2 yyy2 12 分4当 2 y21 ， 即 yy1时， z 的最小值为3 23 3 2 （此时相应的x 值为43 32 ，符合要4求）由于 clogz ，故 c 的最小值 log 3 3 2log 35 16 分2224310（此题满分2
10、0 分）设a1, a2 , a3 ,a 4 为四个有理数，使得：ai a j 1ij424,2,3 ,1 ,1,328，求 a1a2a3a4的值解：由条件可知，ai a j 1ij4 是 6 个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由 此 知 ，a1 , a2 , a3 ,a 4的 绝 对 值 互 不 相 等 ， 不 妨 设| a1 | a2 | a3 | a4 | ， 就| ai| a| j| 1ij中4最小的与次小的两个数分别是| a1 | a2| 及 | a1 | a3|，最大与次大的两个数分别是a1a2a1a3 a2 a4| a31 ,81,3,| a4 | 及 | a210 分| a4| ，从而必需有a3a424,于是 a1, a1 , a324a 23418a1a1a2精品文档欢迎来主页下载-精品文档1故 a a , a a 1,24a 22,3 ， 15 分231 48a 2121结合 a1Q ，只可能 a141234由此易知，a1 , a1 , a4, a42检验知这两组解均满意问题的条件6 或者 a1 ,a1 , a4, a6 123442故 a1a2a3a49 20 分4x211（此题满分
