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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -初二上册学问点总结勾股定理（1 ）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（2 ）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有全部三角形的性质，仍具备等腰三角形和直角三角形的全部性质即：两个锐角都是45，斜边上中线、角平分线、斜边上的高， 三线合一， 等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R ，而高又为内切圆的直径（由于等腰直角三角形的两个小角均为45 ，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，就两腰相等） ；（3 ）如设等腰直角三角形内切圆的半径r=1 ，就外接圆的半径R=2+1 ，所以 r：
2、R=1 ：2+1 （1 ）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和肯定等于斜边长的平方假如直角三角形的两条直角边长分别是a， b ，斜边长为c，那么 a2 +b 2=c 2（2 ）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3 ）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有： a=c2-b2 ，b=c2-a2及 c=a2+b2 （4 ）由于 a2 +b 2=c 2 a 2，所以 c a ，同理 c b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边（1 ）勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a ，b ， c 满意 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形说明：勾股定
3、理的逆定理验证利用了三角形的全等勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判定一个三角形是不是直角三角形必需满意较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判定（2 ）运用勾股定理的逆定懂得决问题的实质就是判定一个角是不是直角然后进一步结合其他已知条件来解决问题留意： 要判定一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，假如相等，就三角形为直角三角形；否就不是勾股数：满意a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数说明：三个数必需是正整数，例如：2.5 、6 、6.5 满意 a2+b 2=c 2 ，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数一组勾
4、股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数记住常用的勾股数再做题可以提高速度如：3 ，4 ，5；5，12 ，13 ；8，15 ，16；7 ，24， 25勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度由勾股定理演化的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题勾股定理在数轴上表示无理
5、数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边实数（1 ）、定义：无限不循环小数叫做无理数说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数如圆周率、 2 的平方根等（2 ）、无理数与有理数的区分：把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如 4=4.0 ，13=0.33333, 而无理数只能写成无限不循环小数，比如 2=1.414213562全部的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能（3 ）学习要求：会判定无理数，明白它的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数，如分数 2 是无理数，由于 是无
6、理数1）定义：假如一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零， 负数没有平方根（2 ）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方一个正数 a 的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a ”正数 a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a 零的算术平方根仍然是零（1 ）算术平方根的概念：一般地，假如一个正数x 的平方等于a ，即 x2 =a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根记为a （2 ）非负数a 的算术平方根a有双重非负性：被开方数a 是非负数；算术平方根a本身是非负数（3 ）求一个非负数的算
7、术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来查找（1 ）非负数的性质：算术平方根具有非负性（2 ）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是依据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解非负数之和等于0 时，各项都等于0 利用此性质列方程解决求值问题（1 ）定义： 假如一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根这就是说，假如 x3 =a ，那么 x 叫做 a 的立方根记作：a3 （2 ）正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数即任意数都有立方根（3 ）求一个数a 的立方根的运算叫开立方，其中a 叫做被开方数留意：符
8、号a3中的根指数“ 3 ”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯独一个立方根 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1 ）任意两个实数都可以比较大小正实数都大于0，负实数都小于0 ，正实数大于一切负实数，两个负实数肯定值大的反而小（2 ）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，肯定值大的反而小估算无理数大小要用靠近法思维方法：用有理数靠近无理数，求无理数的近似值1）实数与数轴上的点是一一对应关系任意一个实
9、数都可以用数轴上的点表示；反之， 数轴上的任意一个点都表示一个实数数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数（2 ）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的肯定值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离（3 ）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，肯定值大的反而小（1 ）在实数范畴内肯定值的概念与在有理数范畴内一样实数a 的肯定值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离（2 ）实数的肯定值：正实数a 的肯定值是它本身，负实数的肯定值是它的相反数，0 的肯定值是 0 （3 ）实数 a 的肯定值可表示为|a
10、|=a （ a 0）-a （a 0 ），就是说实数a 的肯定值肯定是一个非负数，即 |a| 0并且有如 |x|=a （ a 0），就 x= a实数的倒数乘积为 1 的两个实数互为倒数，即如a 与 b 互为倒数，就ab=1 ；反之，如 ab=1 ，就 a 与 b互为倒数，这里应特殊留意的是0 没有倒数（1 ）实数的运算和在有理数范畴内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方（2 ）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最终算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要依据从左到有的次序进行 另外，
11、有理数的运算律在实数范畴内仍然适用二次根式的定义：一般地，我们把形如a （ a 0）的式子叫做二次根式“”称为二次根号a （ a 0）是一个非负数； 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1 ）二次根式的基本性质：a 0； a 0（双重非负性） （ a ）2=a （ a 0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式） a2=a （ a0 ）（算术平方根的意义）（2 ）二次根式的化简：利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简ab=a
12、.bab=ab（3 ）化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式） 都开出来； 化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2最简二次根式的概念：（ 1 ）被开方数不含分母；（ 2 ）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满意上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式最简二次根式的条件：（ 1 ）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（ 2 ）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2 、3、 a（ a 0 ）、 x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因
13、数或因式的有4、9 、a2、（ x+y ） 2、x2+2xy+y2等（1 ）积的算术平方根性质：a.b=a .b （a 0， b 0）（2 ）二次根式的乘法法就：a.b=a .b（ a 0， b 0）（3 ）商的算术平方根的性质：ab=ab （ a 0， b 0）（4 ）二次根式的除法法就：ab=ab （a 0 ，b 0 ）1）分母有理化是指把分母中的根号化去（2 ）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式（3 ）一个二次根式的有理化因式不止一个同类二次根式的定义：一般地， 把几个二次根式化为最简二次根式后，假如它们的被开方数相同，就把这几个二次根式
14、叫做同类二次根式合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变（1 ）法就：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变（2 ）步骤：假如有括号，依据去括号法就去掉括号把不是最简二次根式的二次根式进行化简合并被开方数相同的二次根式（3 ）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，假如被开方数相同就可以进行合并合并时， 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1 ）二次根式的混合运算
