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1、代数部分1 自然数及其运算11 自然数第一章有理数及其运算零的符号是“0” , 它表示没有数量或进位制上的空位除0之外 , 任何自然数都是由如干个“1”组成的 , “ 1”是数个数的单位, 称作自然数的单位自然数的全体：0,1,2,3,4,n , 叫做自然数的集合, 简称自然数集能被 2整除的数叫做偶数; 不能被 2整除的数叫做奇数12 自然数的运算1 加法 :求和的运算叫做加法2 减法 :减法是加法的逆运算3 乘法 :同一个自然数的连加运算, 就叫做乘法4 除法 :除法是乘法的逆运算, 零不能做除数13 自然数的运算性质用字母表示任一个自然数, 来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和
2、运算特点即它们的共同性质, 并简称为运算通性或运算律1 加法交换律 :a+b=b+a2 加法结合律 :a+b+c=a+b+c3 乘法交换律 :a b=b a4 乘法对加法的安排律: a+b c=a c+b c5 加法结合律 :a b c=a b c6 自然数 0和 1的运算特点14 乘法运算及指数运算律求同一个数得连乘运算, 叫做乘方运算an中,a 叫做底数 , 自然数 n叫做指数 , 乘方的结果 an 叫做幂 读作“ a的n次幂”或“ a的n次方” 零的 n次方总等于零,1 的n次方总等于 1同底数幂相乘, 底数不变 , 只是指数相加指数运算律 一同底数幂相乘, 指数相加 , 底数不变 ,
3、即 am an=am+n,指数运算律 二乘积的幂 , 等于各因数的幂的乘积, 即a bn=an bn指数运算律 三幂的乘方 , 指数相乘 , 底数不变 , 即amn=amn指数运算律 四同底数幂相除, 指数相减 , 底数不变 , 即 am/an=am-n其中 mn,a.=0两个同底数 不为 0 、同指数的幂相除, 其商等于 1a0=1 a.=0分数的意义与特点a/b b=a 1/b b=b 1/b a=1 a=a a/b=am/bm m.=0a/b=a/b/b/n n.=0分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变22 分数的运算及运算律加、减法
4、a/b+,-c/d=ad/bd+,-bc/bd=ad+,-bc/bd乘法a/b c/d=ac/bd除法a/b/c/d=a/b d/c=ad/bc乘方a/bm=a/b a/b,a/bm个括号 =am/bm分数加法的交换律是a/b+c/d=c/d+a/b3 有理数的意义31 相反意义的量在讨论两者的总成效时, 可以相互抵消或一部分抵消32 正数和负数、相反数带有正号的数叫做正数 “ +”号也可省略不写;带有负号的数叫做负数负数与正数合并时, 其结果可以相消或部分抵消数零 , 既不是正数 , 也不是负数对任一个数 a, 总能有一个数-a, 使它们可以相消, 像这样只是符号不同的两个数, 叫做互为相反
5、数零的相反数 , 仍是零33 有理数、数轴整数包括正整数、负数和零分数包括正分数、负分数 整数和分数 , 统称为有理数全体有理数组成的集合, 称为有理数集合全体整数组成的集合, 称为整数集合全体自然数组成自然数集合有理数可以用一条直线上的点来表示规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴对于任一个有理数, 在数轴上都可以有一个确定的点表示它 正数和负数 , 可表示“相反意义”的量, 而数零是它们的界限互为相反数的一对数, 在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示34 肯定值一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做肯定值一个正数的肯定值是它本身;一个负数的肯定值是它
6、的相反数;零的肯定值是零4 有理数的运算41 有理数的加法与减法加法符号相同的两个有理数相加, 只要将两数的肯定值相加, 符号仍取原先的符号两个符号相反的有理数相加, 将较大的肯定值减去较小的肯定值, 符号取肯定值较大的加数的符号减法减法是加法的逆运算减法法就是减去一个数, 等于加上这个有理数的相反数在有理数范畴内, 减法运算也是畅通无阻的42 代数和含有加减运算的式子, 都能转化成井含有加法运算的式子, 我们称它为“代数和”去括号法就：去掉紧接正号后面的括号时, 括号里的各项都不变; 去掉紧接负号后面的括号时 , 括号里的各项都要变号添括号法就：紧接正号后面添加括号时, 括号到括号里的各项都
7、不变; 紧接符号后面添加括号时 , 括到括号里的各项都要变号43 有理数的乘法与除法乘法异号 一负一正 两有理数相乘, 将肯定值相乘, 符号取负两个负有理数相乘, 将肯定值相乘 , 符号取正乘法法就：将肯定值相乘, 积的符号是：同号得正, 异号得负当负乘数有奇数个时, 成积为负 ; 当负乘数有偶数个时, 成积为正 ;只要有一个乘数为零, 那么乘积必定是零除法除法法就：将肯定值相除, 商的符号是：同号相除得正, 异号相除得负零除以任一个非零有理数, 其商仍为零零不能作除数任一个非零有理数x, 除1所得的商 1/x,叫做这个数 x 的倒数非零有理数 x 与1/x 互为倒数 , 其特点性质是x 1/
8、x=1零没有倒数除以一个非零有理数, 就等于诚心这个数的倒数a/b=a 1/b=a/b44 有理数的乘方非零有理数的乘方, 将其肯定值乘方, 而结果的符号是： 正数的任何次乘方都取正号; 负数的奇数乘方取负号, 负号的偶次乘方取正号零的非零次都0; 零的零次方没有意义45 有理数的混合运算先乘方 , 再乘除 , 后加减 ; 如有括号 , 就“先里后外”去括号, 逐步运算46 近似数和有效数字与实际相符的数, 叫做精确数与实际接近的数, 叫近似数一般地 , 一个近似数四舍五入到哪一位, 就说这个近似数精确到哪一位这时, 从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止, 全部的数字 , 都叫做这个数的
9、有效数字5 有理数的基本性质51 有理数运算的“通性”1 加、减、乘 乘方 、除运算的封闭性任意两个有理数的和、差、积、 商0 不作除数 都仍是有理数这就是有理数四就运算的封闭性相比之下 , 在自然数范畴内, 除法 除数不为 0 、减法都不封闭; 在整数范畴内, 除法 除数不为 0 也不封闭2 加法、乘法运算满意交换律、结合律和安排律(1) 加法的交换律、结合律 对于有理数 a、b、c来说a+b=b+a;a+b+c=a+b+c(2) 乘法的交换律、结合律对于有理数 a、b、c来说 , a b=b a; a b c=a b c(3) 乘法对于加法的安排律对于有理数 a、b、c来说 a b+c=a
10、 b+a c3 加、减法运算, 乘、除运算的统一(1) 加、减运算的统一任意一个有理数a, 总有它唯独的一个相反数-a, 使得 -a+a=a+-a=0因而 , 有理数减法 , 就可以转化为加法, 即a-b=a+-b(2) 乘、除运算的统一任意一非零有理数b, 总有它唯独的一个倒数1/b, 使得 b 1/b=1/b b=1因而 , 有理数除法 ,就可以转化为乘法, 即a/b=a 1/bb.= 04 数 0与1的特性对于任意有理数a来说 ,a+0=0+a=a; a 0=0 a=0; a 1=1 a=a5 乘方运算满意指数运算律52 有理数的大小次序负数 零 0, ab;a-b=0, a=b; a-
11、b0, a”或“ B,那么 BB,BC,那么 AB,那么 A+,-mB+,-m4) 假如 AB,且m0,那么 AmBm5) 假如 AB,且m0,那么 AmBm其次章一次方程 组 与一次不等式 组1 算术解法与代数解法11 两种解法的分析、对比12 未知数和方程用字母 x 、y、, 等, 表示所要求的数量, 这些字母称为“未知数”用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子, 叫做代数式含有未知数的等式, 叫做方程在一个方程中, 所含未知数 , 又成为元 ;被“ +”、“- ”号隔开的每一部分称为一项在一项中, 数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数某一项所含有的未知数的指数和, 成为这一项的
12、次数不含未知数的项, 成为常数项当常数不为零时, 它的次数是 0, 因此常数项也称为零次项13 方程的解与解方程的依据未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后, 就使方程变成一个恒等式能是方程左右两边的值相等的未知数的值, 叫做方程的解 , 也叫做根求方程解的过程, 叫做解方程解方程的依据是“运算通性”及“等式性质”可以“由表及里”地去掉括号, 并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来 , 合并在一起这叫做合并同类项把方程一边的任一项转变符号后, 移到方程的另一边, 叫做移项简洁说就是“移项变号”把方程两边各同除以未知数的系数 或同乘以系数的倒数, 就得到未知数应取的值综上所述 , 得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项, 使方程化为最简形式ax=ba.=0、除以未知数的系数, 得出 x=b/aa.=02 一元一次方程只含有一个未知数并且次数是1的方程 , 叫做一元一次方程一般形式:ax+b=0a.=0,a、b是常数22 一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：1 去分母 或化为整系数;2 去括号 ;3移项变号 ;4 合并同类项 , 化为 ax=-ba.=0的形式 ;5 方程两边同除以未知数的系数, 得出方程的解 x=-b/a3 一次方程组31 二元一次方程
