名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【学问梳理】不等式专题复习一——六个基本量之间的关系是解决不等式问题的基础a 2 b2c2 ， a b c ， a b c ， ab bc ca ， abc ， 1 1 1 之间有多少不等关系呢？a b c例如可以构成几个不等式链：a 2 b2 c2〔a b c〕2 3ab bc ca223111abc3〔 abc 〕 3 3整理成比较工整的a2 b2 c22a b cab bc ca22〔abc 〕 3 33 3 3〔 a b c 〕2 31 1 1a b ca b c3 abc3〔 a b c〕 2a2 b2 c22〔 ab bc ca〕x2 y2 z2〔 x y z〕 22〔 xy yz zx〕 〔 x y z〕 2我们应当将这六个基本量牢记于心， 一旦在试题中发觉它们的影子， 就认真摸索它们在不等式链中的位置， 即与之相关联的不等号究竟是哪一种 （大于就放在左边， 小于放就在右边），也就是说， 题目中的不等号也是一种很重要的隐含信息， 指引着大家走向正确的方向；例 1．（ 11 月月考）已知正数a, b, c 满意a b c 1 ，（1）求证 :abc 1 ；bc ca ab 9（2）求〔a b〕22b c〔b c〕 22c a〔c a〕 22a b的最小值．解析：（ 1）第一小题中我们留意到显现了两个基本量 ab bc ca ， abc ，其中 abc 一般显现2在均值不等式中，因此考虑利用不等式链中ab bc ca3〔abc 〕 3 这一环，所以 abc abc3 abc a b c 1bc ca ab33 〔 abc 〕23 9 9法二：也可以将原式转变为abcbc ca ab11 1 1a b c这个不等式中显现了不等式链中的另一环，即a b c 331 1 1a b c法三：bc ca ab〔 a b c〕 〔abc abc abc 〕 2所以 bc ca ab 9abc ，得证典型错误：不等式“打架” 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载a b c33 abc abc 127〔a b c〕2 1ab bc ca3 31所以 abcbc ca ab27 11 93在证明不等式时必需要留意不等号的传递性， 一旦显现不等式 “打架” 的情形，只能舍弃这个方法，挑选其他道路；y 2 y 2 y2 〔 y y y 〕 2（2）利用柯西不等式的变式1 2 3 1 2 3，一步秒杀；x1 x2 x3 x1 x2 x3〔a b〕22b c〔b c〕22c a〔c a〕22a b〔2a3a2b 2c〕23b 3c4 〔a b c〕 43 3当且仅当a b c1时取得最小值3例 2．（ 2021 杭二中第六次月考）已知正数a,b, c 满意：ab bc ca1，求证：（1） 〔 a b c〕 2 3 ；（2） a bc b ac c ab 1证明：（ 1）留意到这就是不等式链中的一环2222〔 a b c〕2 2 2a b c2〔 ab bc ca 〕而 〔a 2 b2c2 〕〔 b2c2 a2 〕 〔 ab bc ca〕 2 ，即 a b cab bc ca〔 a b c〕 2a 2 b2 c22〔 ab bc ca〕 3〔 ab bc ca〕 3当且仅当a b c3时取等号3（2） a bc b ac c ab ab ac bc ab ca cb〔 ab ac bc ab ca cb 〕2〔ab bc ca〕〔 ac ab bc〕 1a bc b ac c ab 1当且仅当a b c3 时取等号3点评： 其次小题留意到题目中不等号（ ）的位置，由于三个根号之和放在柯西不等式的右边，自然就可以把要证明的式子联想成柯西不等式中两两乘积之和；2 2 2例 3．（ 2021 浙江高考仿真模拟卷）已知正数证法一：a,b, c 满意a b c1 ，求证： a3b3 c3a b c 3 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3 1 3 1 3 1 3 23 2 3 2〔 a2 b2c2 〕2〔a 2 a 2b 2b 2c2 c2 〕 2 a2b2 c 2a b c a3b3 c3 ①22 2 2 〔a b c〕 1由于 a b c3 32 2 22代入①式得 a3 b3 c3a2 b2 c2a b c 3证法二： 考虑用均值不等式证明， 第一留意到等号成立的条件应当是在因此配系数利用均值不等式得a b c1 处取得，32 2 2a3 a 2a ， b3 b 2b ， c3 c 2c9 3 9 3 9 3a3 b3 c3a b c 2 〔a2b2 c2 〕三式相加得9 31 〔a2 b2 c 2 〕 1 〔a 2 b2 c 2 〕 1 〔 a2 b2 c 2 〕 1 1 〔 a b c〕 23 3 3 3 3又由于 a b c1 ，所以 a3b3 c31 1 〔 a2 b2 c2 〕 133即 a3 b ca2 b2 c2 39 3 9当且仅当a b c1 时取得等号；3例 4．（ 2021 杭十四中 5 月月考）已知 a, b, c 为正实数，且ab bc ca 1a 2 b2c2 3（1）求 a b c abc 的最小值；（2）证明：a21 b2 1c2 1 4解：（ 1）由于2a b ca2 b2c2 2〔 ab bc ca 〕 3〔ab bc ca〕 3 ，又 a, b, c 为正实数，所以 a b c 3 ，又 1 ab bc ca3 3 a2 b2 c2 ，即abc 39所以 a b c abc3 3 8 3，即当a b c3 8 3时， a b c abc 的最小值为9 9 3 9证明：（ 2）由柯西不等式得a2 b2 c2〔 a b c〕2〔 a b c〕 2a2 1b2 1c2 1a2 1 b21 c 2 1a2 b2 c23〔ab bc ca〕〔 a b c〕2 〔 a b c〕2 3〔 a b c〕 2〔ab bc ca〕2 1 2 4〔a b c〕 〔 a b c〕 32 2 2所以 a b c 3a2 1 b2 1 c2 1 4当且仅当a b c3时取得等号3 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载例 5． 已知a,b, c〔0,1〕 ，且满意a b c 2（1）求证： 1ab bc ca 42223（2）求证： 43a b c 2（3）求abc2 2 2a b c的最大值证明：（ 1） 2〔 ab bc ca〕 〔 a b c〕2〔a2b2 c 2 〕 4 〔 a2 b2c2 〕 4 〔ab bc ca〕所以 ab bc ca 431 ab bc ca2 2ab2bc2ca〔 a b c〕 22〔 a 2 b2c2 〕 4 2〔 a2 b 2c 2 〕222a2 b2 c2 2由于 a, b, c〔0,1〕 ，所以 a22a,b2b, cc ，三式相加即 a b ca b c2 ，得证；另辟蹊径 思路点拨： 这个不等式的左半边很难一步证明，但我们应当留意到这个题目的题干与常见题干有何不同？平常只要求a, b, c 为正数，而此题却要求a,b,c〔0,1〕 ，这是多此一举仍是有意为之？明显这是一个可以挖掘的信息；因此如何将a,b,c〔0,1〕转化为正数呢？换元是最常用的方法；法二： 设 x1 a, y1 b, z1 c ，就x, y, z R ，且x y z 1ab bc ca〔1 x 〕〔1y) 〕 〔1y〕〔1z) 〔1z〕〔1x〕 3 〔 xy yz zx〕 2〔 x y z〕 1 〔 xy yz zx〕由于 0〔x y z〕2xy yz zx ，即 0 3xy yz zx 13所以 1ab bc ca 43点评： 换元法是用来处理a,b,c 之间线性轮换问题的常见方法；（2）由柯西不等式得a2 b2c2 12 12 122a b c 4所以 a2 b2c2 43由于 a, b, c〔0,1〕 ，所以 a2a,b2b, c2c ，三式相加即 a2 b2 c2a b c 22或用 a b2 c22〔 a b c〕2〔 ab bc ca〕 4 2〔 ab bc ca〕。