名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -七年级奥赛数学基础学问讲义主讲：第一讲 和肯定值有关的问题就代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）A ． -3a B ． 2c － a C．2a－ 2b D． b解 ： | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-〔a+b〕+〔c-a〕+b-c=-3a分析：解肯定值的问题时，往往需要脱去肯定值符号，化成一般的有理数运算；脱去肯定值的符号时，必需先确定肯定值符号内各个数的正负性，再依据肯定值的代数意义脱去肯定值符号；这道例题运用了数形结合的数学思想，由 a、b、c 在数轴上的对应位置判定肯定值符号内数的符号，从而去掉肯定值符号，完成化简；一、 学问结构框图： 数例 2． 已知： x 0 z ， xy 0 ，且 y z x ， 那么 x z y z x y的值（ ）A ．是正数 B ．是负数 C．是零 D ．不能确定符号解：由题意， x、 y、z 在数轴上的位置如下列图：所 以 x x 0z y zz 〔 y z〕x y〔x y〕二、 肯定值的意义：(1) 几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的肯定值，记作 |a| ；(2) 代数意义：①正数的肯定值是它的本身；②负数的肯定值是它的相反数；③零的肯定值是零；分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴；这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了 x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺当化简铺平了道路；虽然例题中没有给出数轴，但我们应当有数形结合解决问题的意识；例 3．（分类争论的思想）已知甲数的肯定值是乙数肯定值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8，求这两个数；如数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中查找关键的解题信息， “数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数 符号相反，即一正一负；那么到底谁是正数谁是负数，我们应当用分类争论的数学思想解决这一问题；a也可以写成： | a | 0当a为正数当a为0解：设甲数为 x ，乙数为 y 由题意得：（ 1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：x 3 y ，a 当a为负数说明：（Ⅰ） |a| ≥ 0 即|a| 是一个非负数；（Ⅱ） |a| 概念中包蕴分类争论思想；三、 典型例题如 x 在原点左侧， y 在原点右侧，即 x<0 ， y>0，就 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6如 x 在原点右侧， y 在原点左侧，即 x>0 ， y<0，就 -4y=8 ，所以 y=-2,x=6（ 2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：如 x 、y 在原点左侧，即 x<0， y<0 ，就 -2y=8 ，所以 y=-4,x=-12如 x 、y 在原点右侧，即 x>0， y>0 ，就 2y=8 ，所以 y=4,x=12例 4．（整体的思想）方程 x 2021 2021 x 的解的个数是（ ）例 1．（数形结合思想）已知 a、b、c 在数轴上位置如图：A ． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D．无穷多个分析： 这道题我们用整体的思想解决； 将 x-2021 看成一个整体，问题即转化为求方程a a 的 第 1 页，共 33 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解，利用肯定值的代数意义我们不难得到，负数和零的肯定值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即此题的答案为 D ；综上，我们得到 A 与 B 两点间的距离可以表示为 x 1例 5．（非负性）已知 |ab－2|与|a－ 1|互为相互数，试求下式的值．（ 3）结合数轴求得 x 2x 3 的最小值为 ，取得最小值时 x 的取值范畴为 .1111分析： x2即 x 与2 的差的肯定值，它可以表示数轴上 x 与2 之间的距离；aba 1b1 a2b2 a2007b 2007分析：利用肯定值的非负性，我们可以得到： |ab－ 2|=|a－ 1|=0，解得： a=1,b=2x 3 x〔 3〕即 x 与-3 的差的肯定值，它也可以表示数轴上 x 与-3 之间的距离；于是 1 1 1 1如图， x 在数轴上的位置有三种可能：ab a 1 b 1a 2 b 2a 2007 b20072233420212021111111122334202120211 1 1 1图 1 图 2 图 3图 2 符合题意1 12021（ 4） 满意 x 1 x 43 的 x 的取值范畴为2021分析： 同理 x1 表示数轴上 x 与-1 之间的距离，x 4 表示数轴上 x 与-4 之间的距离；此题2021在上述分数连加求和的过程中，我们采纳了裂项的方法，奇妙得出了最终的结果．同学们可以再即求， 当 x 是什么数时 x 与-1 之间的距离加上 x 与 -4 之间的距离会大于 3；借助数轴， 我们可以得到正确答案： x<-4 或 x>-1 ；深化摸索，1 1 12 4 4 6 6 8120212021说明：借助数轴可以使有关肯定值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为肯定值问题；这种相互转化在解决某些问题时可以带来便利；事实上，假如题目变成求 值，你有方法求解吗？有爱好的同学可 以在课下连续探究；例 6．（距离问题） 观看以下每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 2 ，3 与 5， 2 与 6 ， 4与 3. 并回答以下各题：（ 1）你能发觉所得距离与这两个数的差的肯定值有什么关系吗？答： .（ 2）如数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为― 1，就 A 与 B 两点间的距离A B 表示的几何意义就是在数轴上表示数 A 与数 B 的点之间的距离； 这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的学问解决了（ 3）、（4）这两道难题；四、 小结1．懂得肯定值的代数意义和几何意义以及肯定值的非负性可以表示为x 〔 1〕x 1 ．2．体会数形结合、分类争论等重要的数学思想在解题中的应用分析：点 B 表示的数为― 1，所以我们可以在数轴上找到点 B 所在的位置；那么点 A 呢？由于 x 可以表示任意有理数，所以点 A 可以位于数轴上的任意位置；那么，如何求出 A 与 B 两点间的距离呢？结合数轴，我们发觉应分以下三种情形进行争论；当 x<-1 时，距离为 -x-1, 当-10，距离为 x+1 第 2 页，共 33 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -其次讲：代数式的化简求值问题整体代人，3 x 29 x 2 4代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们敏捷把握，整体代人的方法就是其中之一；一、学问链接例 4． 已 知a 2 a 10 ，求 a 32a 22007 的值 .1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子；它包括整式、分式、二次根式等内容，是中学阶段同学们应当重点把握的内容之一；分析：解法一（整体代人） ：由a2 a 1 0得 a 3a 2 a 02．用详细的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值；所以：a 3 2a 22007注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简洁的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等学问打下基础；二、典型例题a 3 a 2a a 21 2007a 220072007例 1．如多项式2mx2x2 5x 87 x23 y 5x的值与 x 无关，2021解法二（降次） ：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，仍具有降次的功能；求 m2 2m2 5m 4 m 的值 .由 a 2 a 130 ，得 a 221 a ，分析：多项式的值与 x 无关，即含 x 的项系数均为零所以： a22 a 20072由于 2mx2x 2 5x 87x 23 y 5x2m 8 x 23y 8a a 2a2007所以 m=4将 m=4 代人， m22m25m 4 mm2 4m 416 16 4 4〔1 a 〕 a2a aa a 22a 222 a200720072007利用“整体思想”求代数式的值1 2007例 2．x=-2 时，代数式ax5bx 3cx 6 的值为 8，求当 x=2 时，代数式ax 5bx 3cx 6 的值；2021解法三（降次、消元） ： a 2a 1（消元、、减项）分析： 由于ax 5bx3cx 6 8a 3 2a23 220072当 x=-2 时，25 a2 3 b2c 68 得到2 5 a2 3 b 2c 6 8 ，a a2a〔 aa2a〕 a20072007所以 2 5 a2 3 b 2c8 6 14a a21 20072007当 x=2 时，ax 5 bx 3cx 6 = 25 a23 b 2c 6〔 14〕 6 202021例 3．当代数式 x 23x 5 的值为 7 时 , 求代数式3 x29 x 2 的值 .例 5．（实际应用） A 和 B 两家公司都预备向社会聘请人才，两家公司聘请条件基本相同，只有工资待遇有如下差异： A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资 200 元； B 公司，半年薪五千元，每半2分析：观看两个代数式的系数年加工龄工资。