《2022年,二面角求法及经典题型归纳,推荐文档》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年,二面角求法及经典题型归纳,推荐文档（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -立体几何二面角求法一：学问预备1、二面角的概念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱 , 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；3、二面角的大小范畴： 0， 180 4、三垂线定理 ：平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5、平面的法向量：直线 L 垂直平面，取直线L 的方向向量，就这个方向向量叫做
2、平面的法向量；（明显，一个平面的法向量有很多个，它们是共线向量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3 种方法：（ 1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2 条所夹的角；（ 2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2 个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（ 3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为 B ）再做棱的垂线，记垂足为C，连接 AC ，就 ACB 即为该二面角的平面角；7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习1、定义法：从一条直线动身的
3、两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，a这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角；本定义为解题供应了添帮助线的一种规律；如例 1 中从二面角S AMOB 中半平面 ABM上的一已知点（B ）向棱 AM 作垂线，得垂足（F）；B在另一半平面ASM 内过该垂足（F）作棱 AM的垂线（如GF），这两条A垂线（ BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定懂得题；例 1在正方体ABCD A1B1C1D 1 中，求（ 1）二面角A -B1C
4、 -A1 的大小；（2）平面A1 DC1 与平面ADD1 A1 所成角的正切值；D1C1A1B1DCAB- 1 - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 2: 如图 1，设正方形 ABCD-A1B1C1D！ 中， E 为 CC1 中点，求截面 A1BD和 EBD所成二面角的度数；练习：过正方形ABCD的顶点A作 PA 平面 ABCD ，设PA=AB= a ，求二面角B -PC -D 的大小；PADBC2、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，
5、那么它也和这条斜线垂直通常当点P 在一个半平面上就通常用三垂线定理法求二面角的大小；本定理亦供应了另一种添帮助线的一般规律；如（例2）过二面角 B-FC 1 -C 中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面FC1C 的垂线，得垂足O；再过该垂足O 作棱 FC1 的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线 BO、射影 OP）；再解直角三角形求二面角的度数；例 1 平面ABCD EF 的中点，平面 ABEF，ABCD是正方形， ABEF 是矩形且AF= 12AD= a ， G 是（1）求证：平面 AGC 平面BGC；（ 2）求 GB 与平面 AGC
6、 所成角的正弦值；（3）求二面角B -AC -G 的大小；- 2 - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 2点 P 在平面 ABC 外， VABC 是等腰直角三角形，. ABC90VPABPA BC ；（1）求证：平面PA B 平面 A BC ；，是正三角形，（2）求二面角P -AC -B 的大小；PABC例 3. 如图 3，设三棱锥V-ABC中， VA底面ABC，ABBC， DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于 D、E，又 VA=AB， VB=BC，求二面角E-BD-C 的
7、度数；练习：正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，P 是 AD 的中点，求二面角A -BD1 -P 的大小；C1B1D1A1CBDPA- 3 - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -3无棱二面角的处理方法（1） 补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱） ，然后借助前述的定义法与三垂线法解题； 即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 1过正方形ABCD的顶点 A 作 PA 平面ABC
8、D ，设 PA=AB= a ，（ 1）求平面PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小；例 2如下列图，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为1 的菱形， BCD 60， E 是CD 的中点， PA底面 ABCD ， PA 2.（）证明：平面PBE 平面 PAB;（）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.例 3如图 10，设正三棱柱 ABC-ABC 各棱长均为 ， D为 CC1 中点，求平面ABD 与平面 ABC所成二面角的度数；例 4、正三角形 ABC 的边长为 10，A 平面， B、C 在平面的同侧，且与 的距离分别是 4 和 2，求平面 ABC 与所成的角的正弦值
9、；- 4 - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2） 射影面积法 （ cosq =s射影）S凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积S射的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小；S斜例 1：正方体ABCD-A 1B 1C1D1 中， E 为棱 AA 1 的中点，求平面EB 1C 和平面 ABCD 所成的二面角；例 2正方体 ABCD A1B1C1D 1 的棱长为1，P 是棱AA1 的中点， 求平面PB1C1 与平面 ABCD所成二面角的大
10、小；例 3 如图 12，设正方体ABCD-A 1B1C1D 1 中， M 为 AA 1 上点， A 1M:MA=3:1, 求截面 B 1D 1M与底面 ABCD所成二面角；例 4如图，在三棱锥PABC 中，ACBC2 ，ACB90o ， APBPAB ，- 5 - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -PCAC （）求证：PCAB ；（）求二面角BAPC 的大小；4、垂面法 :由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角；例如
11、：过二面角内一点A 作 AB 于 B，作 AC 于 C，面ABC 交棱 a 于点 O，就 BOC 就是二面角的平面角；例 1 SA 平面 ABC， AB BC， SA =AB =BC ，（ 1）求证： SBBC ； （ 2）求二面角C -SA-B 的大小；（ 3）求异面直线SC 与 AB 所成角的余弦值；PADBC例 2、如图 6，设正方体 ABCD-A1 B1C1 D1 中， E、F 分别是 AB、C1D1 的中点；（ 1）求证： A1、E、C、F 四点共面；（2）求二面角 A1-EC-D 的大小；例 3、如图，已知 PA 与正方形 ABCD 所在平面垂直，且AB PA，求平面 PAB与平面 PCD 所成的二面角的大小；- 6 - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -5、向量法向量法解立体几何中是一种特别简捷的也是特别传统的解法，可以说全部的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量运算解题；在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题对于空间向量a 、 b ，
