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1、湖南省永州市杨家巷中学2020年高一数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是第三象限角，化简： =（）A1B0C1D2参考答案：C【考点】三角函数的化简求值【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用同角三角函数间基本关系化简，结合角的范围即可得到结果【解答】解：是第三象限角，可得：cos0，=，cos2+cos2tan2=cos2+cos2?=cos2+sin2=1=1故选：C【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题2. 已知数列an的通项公式是关
2、于n的一次函数，a3=7，a7=19，则a10的值为（）A26B28C30D32参考答案：B【考点】84：等差数列的通项公式【分析】设an=an+b，由a3=7，a7=19，列出方程组求出a=3，b=2，由此能求出a10【解答】解：数列an的通项公式是关于n的一次函数，设an=an+b，a3=7，a7=19，解得a=3，b=2，a10=3102=28故选：B3. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则图中四个图形中较符合该学生走法的是( )参考答案：B略4. ( ) A B C D参考答案：A略5. 已知向
3、量，且，则（ ）A. B. C. 1D. 参考答案：B【分析】由向量平行的性质可以得到，从而得到.【详解】由向量，且，可由向量平行的性质得到.故答案选B【点睛】若向量，且，则可以推出.6. 已知ABC中，那么角A等于A. 135B. 135或45C. 45D. 30参考答案：C【详解】因为，正弦定理可知，A=45故选C.7. 直线关于直线对称的直线方程是（）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】所求直线的斜率与直线的斜率互为相反数，且在处有公共点，求解即可。【详解】直线与直线的交点为，则所求直线过点,因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为A.【点睛】本题考
4、查了直线的斜率，直线的方程，直线关于直线的对称问题，属于基础题。8. （4分）函数f（x）=2x3零点所在的一个区间是（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）参考答案：C考点：函数零点的判定定理 专题：计算题分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）0（a，b为区间两端点）的为所求的答案解答：f（1）=30f（0）=13=20f（1）=23=10，f（2）=43=10f（1）f（2）0，函数的零点在（1，2）区间上，故选C点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解9. 某学校高一
5、年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，采用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象.将480名学生随机从1480编号，按编号顺序平均分成30组(116号，1732号，465480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是（）A. 25B. 133C. 117D. 88参考答案：C根据系统抽样样本编号的确定方法进行求解，因为第1组抽出的号码为5，分组间隔为16，所以第8组应抽出的号码是(8-1)16+5=117。选C。点睛：系统抽样则主要考查分组数和由第一组中抽取的样本推算其他各组应抽取的样本，即等距离的特性，解题的关键是的关键是掌握系统抽样的原理及步骤。
6、10. 长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（ ）A. B. C. D.参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知,则f(x)=；参考答案：因为，所以，又因为，所以.所以.12. 向量与夹角为，且=，则 参考答案： 13. 已知ab0，且a+4b=1，则的最小值为 参考答案：9【考点】基本不等式【分析】把“1”换成4a+b，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值【解答】解：ab0，且a+4b=1，=（）（a+4b）=1+4+5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，的最小值为9，故答案为：914. 函数y=lg（2x）+
7、的定义域是参考答案：（，1）（1，2）【考点】对数函数的定义域【专题】计算题【分析】由对数的真数大于0，分式的分母不为0，即可求得函数的定义域【解答】解：由题意可得：，x2且x1，函数y=lg（2x）+的定义域是x|x2且x1，故答案为：（，1）（1，2）【点评】本题考查函数的定义域，关键在于取两函数的定义域的交集，属于基础题15. （5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4，则这个三棱柱的体积是 参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：如图所示，设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C
8、设球的半径为R，由球的表面积是4，可得4R2=4，R=1可得O1O2=2，为三棱柱的高在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB，可得三棱柱的底面边长=2AB利用等边三角形的面积计算公式可得三棱柱的底面面积S，即可得出三棱柱的体积解答：如图所示，设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C设球的半径为R，球的表面积是4，4R2=4，解得R=1O1O2=2，为三棱柱的高在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB=，可得三棱柱的底面边长=三棱柱的底面面积S=3这个三棱柱的体积=S?O1O2=6故答案为：6点评：本题考查了正三棱柱及其内切球的性质、体
9、积计算公式、等边三角形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题16. 函数f(x)2x2.在，3上的最小值为 参考答案：略17. （4分）若定义在R上的单调减函数f（x）满足：f（a2sinx）f（cos2x）对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是 参考答案：解答：由题意可得，当x时，a2sinxcos2x 恒成立，即asin2x+2sinx+1=（sinx1）2+2由于sinx，故当sinx=1时，（sinx1）2+2 取得最大值为2；当sinx=-1时，（sinx1）2+2 取得最小值为-2，故答案为：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程
10、或演算步骤18. （1） （2）参考答案：略19. 已知求的值。参考答案：解析：20. 已知，求的值参考答案：-2原式.10分21. （14分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1平面PAC；（2）求证：平面PAC平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小参考答案：考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：证明题分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得POBD1，从而证明直线BD1平面PAC（2）证明ACBD，DD1AC，可证AC面BDD1B1，进而证
11、得平面PAC平面BDD1B1 （3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在RtCPO中，利用边角关系求得CPO的大小解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故POBD1，PO?平面PAC，BD1?平面PAC，所以，直线BD1平面PAC（2）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则ACBD，又DD1面ABCD，则DD1ACBD?平面BDD1B1，D1D?平面BDD1B1，BDD1D=D，AC面BDD1B1AC?平面PAC，平面PAC平面BDD1B1 （3）由（2）已证：AC面B
12、DD1B1，CP在平面BDD1B1内的射影为OP，CPO是CP与平面BDD1B1所成的角依题意得，在RtCPO中，CPO=30CP与平面BDD1B1所成的角为30点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题22. （1）已知tan =，求的值（2）已知，cos（）=，sin（+）=，求sin 2的值参考答案：【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GI：三角函数的化简求值；GQ：两角和与差的正弦函数【分析】（1）利用诱导公式化简，再“弦化切”思想可得答案；（2）根据，cos（）=，sin（+）=，求出sin（），cos（+），那么sin 2=sin（）+（+）利用和与差公式求解【解答】解：（1）原式=又tan =，原式=3（2），+，0又cos（）=，sin（+）=，sin（）=，cos（+）=，sin 2=sin（+）+（）=sin（+）cos（）+cos（+）sin（）=6 / 6
