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1、湖南省永州市万家庄乡中学高二数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为()A BCD参考答案:A略2. 将数字1,1,2,2,3,3排成三行两列,要求每行的数字互不相同,每列的数字也互不相同,则不同的排列方法共有()A12种B18种C24种D36种参考答案:A【考点】排列、组合的实际应用【分析】由题意,可按分步原理计数,根据题设中的规则可分六步解决这个问题,分别计算出每一步的填法种数,再由分步原理即
2、可得到总的排列方法【解答】解:由题意,可按分步原理计数,第一步,第一行第一个位置可从1,2,3三数字中任意选一个,有三种选法,第二步,第一行第二个位置可从余下两数字中选一个,有二种选法第三步,第二行第一个位置,由于不能与第一行第一个位置上的数字同,故其有两种填法第四步,第二行第二个位置,由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同,故它只能有一种填法第五步,第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同,故其只有一种填法,第六步,此时只余下一个数字,故第三行第二列只有一种填法由分步原理知,总的排列方法有322111=12种故选A3. 若曲线在处的切线与直线互相垂直,则实数a等于(
3、)A. -2B. -1C. 1D. 2参考答案:D【分析】求出函数在处的导数值,这个导数值即函数图像在该点处切线的斜率,然后根据两直线垂直的条件列出方程即可求解实数。【详解】由题可得:,曲线在处的切线的斜率为1,曲线在处的切线与直线互相垂直,且直线的斜率为,解得:;故答案选D.【点睛】本题考查导数的几何意义,两直线垂直的条件,属于基础题。4. 在平面直角坐标系xOy中,若直线(s为参数)和直线(t为参数)平行,则常数a的值为( )A.8 B.6 C. 2 D.4参考答案:D5. 抛物线的准线方程是 ( )(A) (B)y2 (C) (D)y=4参考答案:B略6. 设成等比数列,其公比为2,则的
4、值为A1 B C D参考答案:C略7. 若平面向量的夹角为,且,则(A) (B) (C) (D)参考答案:D8. 在复平面中,满足等式|z+1|z1|=2的z所对应点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C一条射线D两条射线参考答案:C【考点】轨迹方程【分析】利用复数的几何意义,即可判断出等式|z+1|z1|=2的z所对应点的轨迹【解答】解:复数z满足|z+1|z1|=2,则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1(1,0),F2(1,0)的距离之差为常数2,所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2(1,0)为起点,方向向右的一条射线故选:C9. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是
5、如图所示的一个正方形,则原来的图形是( )ABCD参考答案:A作出该直观图的原图形,因为直观图中的线段轴,所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变,点和在原图形中对应的点和的纵坐标是的倍,则,所以故选10. 对于集合A=x|0x2,B=y|0y3,则由下列图形给出的对应f中,能构成从A到B的函数的是( )ABCD参考答案:D【考点】函数的概念及其构成要素【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用【分析】直接根据函数的定义,逐个考察各选项便可得出结果【解答】解:根据函数的定义,逐个考察各选项:对于A:不能构成,因为集合A中有一部分元素(靠近x=2)并没有函数值,所以符合函数定义;对于B:不能构
6、成,因为集合A中的一个元素(如x=2)与集合B中的两个元素对应,不符合函数定义;对于C:不能构成,因为集合A中的一个元素(如x=1)与集合B中的两个元素对应,不符合函数定义;对于D:能够构成,因为集合A中的每个元素都只与集合B中某一个元素对应,符合函数定义故选D【点评】本题主要考查了函数的概念,以及运用图象判断变量之间是否具有函数关系,属于基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 是“直线与直线相互垂直”的_条件(“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).参考答案:充分不必要略12. 已知集合,,,则= 参考答案:13. 关于x的方程有两个不相等的
7、实根,则a的取值范围是_.参考答案:14. 若,则= .参考答案:3215. 已知A1,2,(a23a1)(a25a6)i,B1,3,AB3,则实数a的值为_参考答案:略16. 已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点,且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1,则双曲线的方程是 参考答案:17. 抛物线焦点在轴上,且被截得的弦长为5,则抛物线的标准方程为_.参考答案:或略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知数列an的前n项和Sn=n2+2n(nN+),数列bn的前n项和Tn=2n1(nN+)(1)求数列的前n项和;(2)求数列an?bn的前n项和
8、参考答案:【考点】数列的求和【专题】综合题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列【分析】(1)由已知得an=2n+1从而=,由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和(2)由已知得,从而an?bn=(2n+1)?2n1,由此利用错位相减法能求出数列an?bn的前n项和【解答】解:(1)数列an的前n项和Sn=n2+2n(nN+),a1=S1=1+2=3,n2时,an=SnSn1=(n2+2n)(n1)2+2(n1)=2n+1,n=1时,2n+1=3=a1,an=2n+1=,数列的前n项和:An=(+)=(2)数列bn的前n项和Tn=2n1(nN+),b1=T1=21=1,n2时,bn=TnTn1=
9、(2n1)(2n11)=2n1,n=1时,2n1=1=a1,an?bn=(2n+1)?2n1,数列an?bn的前n项和:Bn=3?1+5?2+7?22+(2n+1)?2n1,2Bn=3?2+5?22+7?23+(2n+1)?2n,得Bn=3+22+23+2n(2n+1)?2n=(2n+1)?2n=2n+11(2n+1)?2n,Bn=(2n1)?2n+1【点评】本题考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意列项求和法和错位相减法的合理运用19. 设数列an的前n项和为Sn=2an2n,()求a1,a4()证明:an+12an是等比数列;()求an的通项公式参考答案:【考点】等比关
10、系的确定;等比数列的通项公式;数列递推式【分析】()令n=1得到s1=a1=2并推出an,令n=2求出a2,s2得到a3推出a4即可;()由已知得an+12an=(Sn+2n+1)(Sn+2n)=2n+12n=2n即为等比数列;()an=(an2an1)+2(an12an2)+2n2(a22a1)+2n1a1=(n+1)?2n1即可【解答】解:()因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2,由2an=Sn+2n知:2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=sn+2n+1,则a2=S1+22=2+22=6,S2=8;a3=S2+23=8+23=16,S2
11、=24,a4=S3+24=40;()由题设和式知an+12an=(Sn+2n+1)(Sn+2n)=2n+12n=2n所以an+12an是首项为2,公比为2的等比数列()an=(an2an1)+2(an12an2)+2n2(a22a1)+2n1a1=(n+1)?2n120. 已知函数f(x),如果存在给定的实数对(a,b),使得f(a+x)?f(ax)=b恒成立,则称f(x)为“函数”(1)判断函数f1(x)=x,是否是“函数”;(2)若f3(x)=tanx是一个“函数”,求出所有满足条件的有序实数对(a,b);(3)若定义域为R的函数f(x)是“函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(
12、1,4),当x0,1时,f(x)的值域为1,2,求当x2016,2016时函数f(x)的值域参考答案:【考点】抽象函数及其应用;函数恒成立问题【分析】(1)假设f1(x),f2(x)为函数,根据新定义得出恒等式,判断恒等式是否成立即可得出结论;(2)假设f3(x)为函数,列出恒等式,根据和角的正切公式计算,得出关于x的恒等式解出a,b;(3)根据定义列出恒等式,根据所给条件归纳得出当x2k,2k+2时,f(x)22k,22k+2,从而求的f(x)的值域【解答】解:(1)若f1(x)=x是“函数”,则存在实数对(a,b),使得(a+x)(ax)=b即x2=a2b对xR恒成立,而关于x的方程x2=
13、a2b最多有两个解,不符合题意因此f1(x)=x不是“函数”若是“函数”,则存在实数对(a,b),使得3a+x?3ax=32a=b,即存在常数对(a,32a)满足条件,因此是“函数”(2)f3(x)=tanx是一个“函数”,存在序实数对(a,b)满足tan(a+x)?tan(ax)=b恒成立,当时,tan(a+x)?tan(ax)=cot2x,不是常数当时,有恒成立,即(btan2a1)tan2x+(tan2ab)=0恒成立则,当,时,tan(a+x)?tan(ax)=cot2a=1成立因此满足f3(x)=tanx是一个“函数”时,实数对(3)函数f(x)是“函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),f(x)?f(x)=1,f(1+x)?f(1x)=4,f(1+x)?f(1x)=4?f(x)?f(2x)=4,x1,2时,2x0,1,f(2x)1,2,x0,2时,f(x)1,4,x2,4时,f(x)4,16,x4,6时,f(x)16,64,以此类推可知:x2k,2k+