[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟62一、填空题问题:1. 已知则f(n)(3)=______．答案:[解析] 则所以 问题:2.答案:3e[解析] 令 则 于是 问题:3.答案:2(1-ln2)[解析] 令 则 因为S(0)=0， 所以 则 问题:4. 设级数条件收敛，则p的取值范围是______．答案:[解析] 因为条件收敛，所以即p的范围是 问题:5. 设y=y(x)满足，且有y(1)=1，则．答案:[解析] 由得函数y=y(x)可微且，积分得，因为y(1)=1，所以C=0，于是，故 问题:6. 微分方程的通解为______．答案:[解析] 由，得，即， 令z=ey，则，解得， 所以原方程的通解为． 问题:7. 微分方程yy"-2(y')2=0的通解为______．答案:y=C或者[解析] 令y'=p，得，代入原方程得 则p=0，或． 当p=0时，y=C； 当时，，即． 由，得，从而，所以原方程的通解为y=C或者． 问题:8. 微分方程的通解为______．答案:lnx+C[解析] 令， 所以 问题:9. 以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．答案:y'"-3y"+4y'-2y=0[解析] 特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ3-3λ2+4λ-2=0，所求方程为y'"-3y"+4y'-2y=0．问题:10. 设y(x)为微分方程y"-4y'+4y=0满足初始条件y(0)=1，y'(0)=2的特解，则 答案:[解析] y"-4y'+4y=0的通解为y=(C1+C2x)e2x， 由初始条件y(0)=1，y'(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x， 于是 问题:11. 差分方程yt+1-2yt=3×2t的通解为y(t)=______．答案:[解析] yt+1-2yt=0的通解为y(t)=C×2t，f(t)=3×2t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2t，代入原方程得，故原方程的通解．二、选择题问题:1. 设条件收敛，且，则______．A.|r|＜1B.|r|＞1C.r=-1D.r=1答案:C[解析] 因为条件收敛，所以级数一定不是正项或负项级数，故r≤0． 若|r|＜1，则，级数绝对收敛，矛盾； 若|r|＞1，则，存在充分大的N，当n＞N时，{|un|}单调增加， ，于是发散，矛盾，故|r|=1，再由r≤0得r=-1，选C． 问题:2. 设，则______． A． B． C． D． 答案:B[解析] 显然条件收敛，，因为，而收敛，所以收敛，选B．问题:3. 设幂级数在x=6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为______． A．2 B．4 C． D．无法确定 答案:A[解析] 因为在x=6处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=4，又因为级数有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R=4，于是的收敛半径为R=2，选A．问题:4. 设y(x)是微分方程y"+(x-1)y'+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的解，则______．A.等于1B.等于2C.等于0D.不存在答案:A[解析] 微分方程y"+(x-1)y'+x2y=ex中，令x=0，则y"(0)=2，于是，选A．问题:5. 二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为______．A.(ax+b)e-xB.x2e-xC.x2(ax+b)e-xD.x(ax+b)e-x答案:D[解析] 方程y"-2y'-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3，故方程y"-2y'-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选D．问题:6. 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为______．A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1答案:D[解析] 因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解， 所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=0的两个线性无关解， 于是方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解为 C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x) 即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D． 三、解答题问题:1. 讨论级数的敛散性．答案:解 令 则 因为而收敛，所以收敛， 由正项级数的比较审敛法得收敛． 问题:2. 设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．答案:解 令，由交错级数的Leibniz审敛法，级数收敛， 而发散．设是正项收敛级数，则， 取ε0=1，存在自然数N，当n＞N时，|an-0|＜1，从而0≤an＜1， 当n＞N时，有． 由收敛得收敛，再由比较审敛法得收敛，所以收敛． 问题:3. 设，级数中，哪个级数一定收敛?答案:解 不一定收敛，如，显然， 而，因为收敛，而发散， 所以发散； 不一定收敛，如，显然发散； 不一定收敛，如，显然发散； 一定收敛． 由，得，又收敛，所以收敛，即绝对收敛， 所以一定收敛．问题:4. 若正项级数收敛，证明：收敛．答案:证明 因为收敛，所以， 当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数， 而， 所以再由收敛，故收敛． 设．5. 求的值；答案:解 ，则， ，因为，所以． 6. 证明：对任意常数λ＞0，收敛．答案:证明 因为， 所以，而收敛(λ＞0)，所以收敛． 问题:7. 设，讨论级数的敛散性，若收敛求其和．答案:解 因为收敛，所以收敛． 因为 所以 于是的和为 问题:8. 设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．答案:证明 令Sn=a1+a2+…+an，S'n+1=(a1-a0)+2(a2-a1)+…+(n+1)(an+1-an)， 则S'n+1=(n+1)an+1-Sn-a0，因为收敛且数列{nan}收敛， 所以都存在，于是存在，根据级数收敛的定义，收敛． 问题:9. 设an＞0(n=1，2，…)且单调减少，又级数发散，判断的敛散性．答案:解 因为单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以存在，令， 由发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由，得级数收敛．证明：10. 设an＞0，且{nan}有界，则级数收敛；答案:证明 因为{nan}有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即，而级数收敛，所以级数收敛．11. 若，则级数收敛．答案:证明 取，因为，所以存在N＞0，当n＞N时，，即，或者，而收敛，所以收敛．设(n=1，2，…；an＞0，bn＞0)，证明：12. 若级数收敛，则级数收敛；答案:证明 由，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，存在，令．无论A=0还是A＞0，若级数收敛，则级数收敛．13. 若级数发散，则级数发散．答案:证明 若A=0，由级数发散，得级数发散；若A＞0，级数敛散性相同，故若级数发散，则级数发散．问题:14. 设{un}，{cn}为正项数列，证明： (1)若对一切正整数n满足cnun-cn+1un+1≤0，且发散，则也发散； (2)若对一切正整数n满足，且收敛，则也收敛． 答案:证明 显然为正项级数． (1)因为对所有n满足cnun-cn+1un+1≤0，于是 cnun≤cn+1un+1cnun≥…≥c1u1＞0， 从而．因为发散，所以也发散． (2)因为对所有n满足，则cnun-cn+1un+1≥aun+1，即 cnun≥(cn+1+a)an+1，所以，于是 因为收敛，所以也收敛． 问题:15. 对常数p，讨论幂级数的收敛区间．答案:解 由，得幂级数的收敛半径为R=1． (1)当p＜0时，记q=-p，则有，因而当x=±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(-1，1)， (2)当0＜p＜1时，对，因为，所以x=1时，级数发散，当x=-1时，显然收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1)； (3)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x=-1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1]．。