[研究生入学考试题库]考研数学一模拟262一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.问题:1. 直线与平面π：x+y+2z-7=0的夹角为______ A．π B． C． D． 答案:D[考点] 空间直线与平面的夹角[解析] l的方向向量为，π的法向量为，设直线l与平面π的夹角为φ，则. 故，选D.问题:2. 已知是某个二元函数的全微分，则a等于______A.2B.1C.0D.-1答案:A[考点] 二元函数的全微分[解析] 因为存在函数z=f(x，y)，使，即有. 分别对y，x再求偏导数，得. 由右端解析式知，和连续，故. 得(2-a)x-ay=-2y，即(2-a)x=(a-2)y，而x，y是独立的自变量，故2-a=a-2=0，即a=2. 选A.问题:3. 设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2x}，则等于 A． B． C． D． 答案:D[考点] 将二重积分化为二次积分[解析] A不正确，对x积分的上下限错误. B不正确，不知f(u)的奇偶性，只有区域关于x轴的对称性. C不正确，. 用极坐标时，面积微元为rdrdθ. D正确，选D. 问题:4. 已知的收敛半径r=1，则的收敛域为______A.(-∞，+∞)B.[-1，1)C.(-1，1]D.(-1，1)答案:A[考点] 幂级数的收敛域[解析] 对任意的x0，0＜|x0|＜1，收敛，其必要条件为，而收敛数列必有界，即存在M＞0，使. 于是对任意的x∈(-∞，+∞)，有 (*) 而，由式(*)及正项级数比较判别法知绝对收敛，故收敛域为(-∞，+∞). 选A. 问题:5. 设 其中A是可逆矩阵，则B-1等于______ A． B． C． D． 答案:C[考点] 矩阵的初等变换[解析] 将A的2，3列互换后，再换1，4列就得到B，即B=AP2P1，注意，对初等矩阵P1，P2有，故，而进行奇数次初等变换，相当于进行一次这种变换，故. 选C.问题:6. 向量组β1=(0，1，-1)T，β2=(x，2，1)T，β3=(y，1，0)T与向量组α1=(1，2，-3)T，α2=(3，0，1)T，α3=(9，6，-7)T有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，则x，y的值为______A.x=12，y=4B.x=15，y=5C.x=-12，y=-4D.x=-15，y=-5答案:B[考点] 确定向量组线性表示中的参数[解析] 易知α1，α2线性无关，且α3=3α1+2α2，则r(α1，α2，α3)=2，α1，α2是它的最大线性无关组，从r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=2＜3知，. 于是x=3y，又从β3可由α1，α2，α3线性表示知β3可由α1，α2线性表示，从而α1，α2，β3线性相关，故-(10-2y)=0，故y=5，x=3y=15. 选B.问题:7. 设一批零件长度X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2未知. 现从中随机抽取16个零件测得样本均值，样本标准差S=1cm，则μ的置信水平为0.90的置信区间为(已知t0.05(16)=1.746，t0.05(15)=1.753，t0.01(16)=1.337，t0.1(15)=1.341)：______A.(19.653，20.437)B.(19.666，20.334)C.(19.652，20.438)D.(19.665，20.335)答案:C[考点] 未知方差正态总体均值的区间估计[解析] σ2未知，α=0.10，此时，则 今知n=16，tα/2(n-1)=t0.05(15)=1.753，，，从而μ的置信水平为0.90的置信区间为 . 选C.问题:8. 设Xi(1≤i≤8)和Yj(1≤j≤10)分别是来自两个独立总体X～N(-1，22)与Y～N(2，5)的简单随机样本，分别是两个样本的样本方差，则统计量服从的分布是______A.F(7，9)B.F(4，5)C.F(5，2)D.F(2，5)答案:A[考点] 来自两个独立正态总体的抽象分布[解析] ，则. 选A.二、填空题问题:1. 定积分(其中[x]表示不超过实数x的整数部分)的值等于______.答案:14-ln7![考点] 定积分计算[解析] 当ln n≤x＜ln(n+1)时，[ex]=n，由7＜e2＜8知ln 7＜2＜ln 8，故 问题:2. 设Ω0={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1，z≥0}，则=______.答案:[考点] 计算三重积分[解析] 记Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}，即Ω0是Ω在xOy面的上半球. 由于f(x，y，z)=7x2+6y2+5z2关于z是偶函数，故 注意到积分区域Ω对x，y，z有轮换对称性，而积分值仅与积分域及被积函数有关，因此 从而 问题:3. 微分方程：ydx+(x-3x3y2)dy=0的解为______.答案:(c为任意常数)与y=0[考点] 解一阶微分方程[解析] 将方程写为ydx+xdy-3x3y2dy=0，即d(xy)-3x3y2dy=0，两端同乘以(y≠0)，得 方程通解为(c为任意常数)， 此外，y=0也是方程的解. 问题:4. 曲线L是以点(1，0)为圆心，R(＞1)为半径的圆，L为逆时针方向，则______.答案:π[考点] 计算关于坐标的曲线积分[解析] L围成的区域D内包含原点作一小椭圆Cε：4x2+y2=ε2(ε＞0充分小)，使Cε含于D内，记L与Cε围成的区域为Dε. 在Dε上依格林公式. 有 故 问题:5. 行列式(ab≠0，空处元素为0)的值等于______.答案:(3-ab)a2b2[考点] 计算6阶行列式的值[解析] 问题:6. 一发高射炮弹击落、击伤和不能击中敌机的概率分别为，如果击伤该敌机两次也能将敌机击落，则用5发高射炮弹击落该敌机的概率为______.答案:0.998[解析] 记A1=一发炮弹击落敌机，A2=一发炮弹击伤敌机，A3=一发炮弹不能击中敌机，则. 设B=5发炮弹击落敌机，则发炮弹未能击落敌机. =“5发均未击中”∪“5发仅击伤一次”. 于是，故 .三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.问题:1. 设抛物线y=ax2+bx+c满足两个条件： (Ⅰ)过(0，0)和(1，2)两点，且a＜0； (Ⅱ)与曲线y=-x2+2x围成图形面积最小， 求此抛物线方程. 答案:y=ax2+bx+c过(0，0)，(1，2)两点，得，即c=0，b=2-a. y=-x2+2x=-(x-1)2+1，抛物线开口向下，顶点为(1，1)，过(0，0)，(2，0)两点. 设二抛物线另一交点为A，由得x1=0，，即A点横坐标为. 二曲线所围图形面积为 令，则a=-3∈(-∞，0)为唯一驻点(a=0与a＜0矛盾，舍之). 且，即a=-3为唯一极小点，故为最小点. 此时b=2-(-3)=5. 所求抛物线方程为y=-3x2+5x.[考点] 定积分应用 问题:2. 将展成x+1的幂级数，答案: 故， 由得-2＜x＜0.[考点] 将函数展成幂级数 3. 验证函数满足微分方程：y″+y′+y=-ex；答案:，幂级数在收敛区间内可逐项求导，有 上面三式相加，得y″+y′+y=-ex(-∞＜x＜+∞). ① 4. 用上题中结论求幂级数的和函数S(x).答案:二阶常系数齐次方程的特征方程为λ2+λ+1=0，. 故齐次方程通解为 (C1，C2为任意常数). 设非齐次方程有特解，形如：y*=Aex，代入式①，得. 于是得 代入初值y(0)=1，y′(0)=0，得， 故，幂级数的和函数为 [考点] 求幂级数的和函数问题:5. 设函数z=(1+ey)cosx-yey. 试证此函数有无穷多个极大值点，而没有极小值点.答案: 令，驻点为(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=[(2n+1)π，-2](n=0，±1，±2，…). . 从而(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)无穷多个点为函数极大值点. ，故((2n+1)π，-2)不是函数的极值点，即函数有无穷多个极大值点，而没有极小值点.[考点] 二元函数极值点 6. 设f(x，y，z)是连续函数，当t→0+时，是否为无穷小量？如果是，指出它的阶.答案:f(x，y，z)是连续函数，依积分中值定理，存在点(ξ，η，ζ)∈{(x，y，z)|x2+y2+z2≤t2}，使. 当t→0+时，(ξ，η，ζ)→(0，0，0). 于是， 当f(0，0，0)≠0时，Ι(t)是t的3阶无穷小量；当f(0，0，0)=0时，Ι(t)是比t3高阶的无穷小量，从而当t→0+时，Ι(t)至少是t的3阶无穷小量. 7. 曲线C为从上往下看C的方向是顺时针的，求向量场沿C的环量.答案:用Σ表示球面z2+y2+z2=1(z≥0)被C围成的内部，它的法向量为 依照斯托克斯公式，环量为 注意：∑关于y=0对称，xy是y的奇函数，得；∑关于y=0对称，yz是y的奇函数，得，从而由知 于是 [考点] 无穷小的阶；向量场的环量设d是线性方程组AX=b的解，β1，β2，…，βt是其导出组的基础解系，令 γ1=α+β1，γ2=α+β2，…，γt=α+βt 试证： 8. α，γ1，γ2，…，γt线性无关；答案:设x，x1，x2，…，xt是一组数，使 xα+x1γ1+x2γ2+…+xtγt=0. 将γi=α+βi(i=1，2，…，t)代入整理得 (x+x1+…+xt)α+x1β1+x2β2+…+xtβt=0. ① 用矩阵A左乘式①，因为βi(i=1，2，…，t)是AX=0的解，故Aβi=0 (i=1，2，…，t)，于是得 (x+x1+…+xt)Aα=(x1+x2+…+xt)b=0. 但b≠0，所以 x+x1+x2+…+xt=0. ② 将式②代入式①得x1β1+x2β2+…+xtβt=0. 由于β1，β2，…，βt是AX=0的基础解系，故线性无关，得 x1=x2=…=xt=0. ③ 再将式③代入式②，知x=0，于是α，γ1，γ2，…，γt线性无关. 9. 方程组Ax=b的任一解γ可表示为γ=l0α+l1γ1+l2γ2+…+ltγt，其中l0+l1+…+lt=1.答案:由非齐次方程组解的结构知，若γ是AX=b的解，其可表示为 γ=α+k1β1+k2β2+…+ktβt =。