信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院5-6 离散时间傅里叶变换-DTFT一、离散时间傅里叶变换的定义 设离散时间序列x(n)的z变换单位圆被包含在它的收敛域之内于是定义为序列x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）记为信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院 由离散时间序列x(n)的反z变换由于单位圆在X(z)的收敛域之内，以上围线积分可沿单位圆上进行于是记为信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院于是，我们得到一对变换关系：-DTFT变换式-DTFT反变换式记为 由以上反变换式可见，DTFT是将序列x(n)分解为不同角频率的复指数序列ejn的组合，X(ej)是不同分量的复振幅的相对大小，习惯上，称X(ej)是序列x(n)的频谱信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院二、离散时间傅里叶变换的举例1、单边指数序列于是 以上序列的z变换为当|a|1，单位圆被包含在收敛域中，所以即信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院2、双边指数序列于是其中所以3、矩形窗序列信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院三、离散时间傅里叶变换的基本性质1、周期性 即序列是时域离散的，其离散时间傅里叶变换是以2为周期的周期信号。
注意，连续时间周期信号，其连续时间傅里叶变换是离散的例如：单边指数序列2、线性 设信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院则例如：双边指数序列则3、时移与频移性 设则有信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院例如：设矩形窗序列RN(n)的宽度N为奇数，我们已知则RN(n)左移(N-1)/2后，是一个偶对称的序列,根据时移性信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院 因为，此时序列是一偶对称信号，与连续时间傅氏变换相同，其变换应是纯实函数变换的波形如图所示 离散时间信号的傅立叶变换是以2为周期的连续函数，其幅度函数的波形是以偶对称的，相位函数是奇对称的信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院例如：设则由频移性信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院4、共轭与反褶 设则有所以有 即序列实部的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里叶变换的共轭对称分量，虚部的离散时间傅里叶变换是序列离散时间傅里叶变换的共轭反对称分量信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院5、奇、偶、虚、实性 设当x(n)是实序列，即则 即实序列的离散时间傅里叶变换，实部是偶对称的，虚部是奇对称的，模是偶对称的，相位是奇对称的。
当x(n)是实偶序列，即信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院则即当x(n)是实奇序列，即则即 即实偶序列的离散时间傅里叶变换，是实偶对称的；实奇序列，其离散时间傅里叶变换是纯虚且奇对称的信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院同样可求，其中的奇分量当x(n)是实序列，即则其中的偶分量6、频域微分性信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院 设则有6、频域微分性(序列线性加权）例如：已知 则有7、卷积定理 设信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院则有 这里的卷积表示式称为周期卷积参加卷积的两信号均是以2为周期的周期信号，卷积的积分是在2区间上的积分，卷积后的结果，仍然是以2为周期的周期信号有关它的运算，将在数字信号处理讨论信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院 设则有8、巴什瓦尔定理 与在连续时间傅里叶变换相同，这里巴什瓦尔定理表示信号在时域的总能量，等于频域中不同频率分量的能量|X(ej)|2/2在一个周期（2）上的积分 这里|X(ej)|2称为序列x(n)的能量密度谱函数。
信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院练习1：已知序列如图所示，试求以下与X(ej)=DTFTx(n)有关的 值：练习2：已知X(ej)=DTFTx(n)，试求序列x(n)信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院答案：练习1：答案：练习2：信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院练习1：已知序列如图所示，试求以下与X(ej)=DTFTx(n)有关的 值：解：由定义 由定义信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院 由巴什瓦尔定理 由频域微分性与巴什瓦尔定理信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院练习2：已知X(ej)=DTFTx(n)，试求序列x(n)解：由定义 由定义信号与系统Signals & Systems大连海事大学信息科学技术学院。