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1、山东省青岛市莱西孙受镇中心中学高三数学文测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中,在其定义域是减函数的是( )A. B. C. D. 参考答案:D略2. “”是“函数在区间上为减函数”的( )A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 参考答案:B.试题分析:若,则,由二次函数的图像及其性质知,在区间上为单调减函数,即“”是“函数在区间上为减函数”的充分条件;反过来,若函数在区间上为减函数,则,即,不能推出,即“”不是“函数在区间上为减函数”的必要条件.综上所述,“
2、”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件,故应选B.考点:二次函数的单调性;充分条件与必要条件.3. 已知ABC的垂心为H,且AB3,AC5,M是BC的中点,则A.5 B.6 C.7 D.8参考答案:D4. 安徽黄山景区,每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下,某人下午在山上,准备乘坐缆车下山,则他等待时间不多于5分钟的概率为( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内,再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达,等待时间不多于5分钟,所以他等待时间不多于5分钟的概率为.故选B【点睛】本
3、题主要考查几何概型,熟记公式即可求解,属于基础题型.5. 对任意非零实数a,b,若的运算法则如右图的框图所示,则的值等于A、B、C、D、参考答案:B6. 在各项均为正数的等比数列中,若,数列的前项积为,若,则的值为( )A4B5 C 6 D 7参考答案:B略7. 已知两个不同的平面和两条不重合的直线,则下列四个命题正确的是A若则 B若,则 C若,则D若,则参考答案:D8. 若的展开式中的常数项为,二项式系数的最大值是,则( )A. B. C. D. 参考答案:D9. 已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为( )A0 B1 C2 D3参考答案:B由题意得圆的圆心(0,0)到直线的距离为,
4、故直线和圆相切,即直线和圆有1个公共点,所以的元素个数为1选B10. 已知等差数列中,记,S13=( )A78 B68 C56 D52参考答案:D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为cm2参考答案:【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】如图所示,由三视图可知:该几何体为三棱锥PABC该几何体可以看成是两个底面均为PCD,高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体,进而可得答案【解答】解:如图所示,由三视图可知:该几何体为三棱锥PABC该几何体可以看成是两个底面均为PCD,高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体,由几何体的俯视图
5、可得:PCD的面积S=44=8cm2,由几何体的正视图可得:AD+BD=AB=4cm,故几何体的体积V=84=cm3,故答案为:12. 已知双曲线C:(a0,b0)的一条渐近线与直线l:垂直,C的一个焦点到l的距离为1,则C的方程为_.参考答案:略13. 极坐标系下,方程与方程表示的曲线的公共点个数为_参考答案:,直线方程为又,曲线方程为圆:圆中心到直线的距离,即直线与圆相交两曲线共有两个公共点14. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为 参考答案:7【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的S,i的值,当i=3时,不满足条件i2,退出循环,输出S的值为7【解答】解:模拟程
6、序的运行,可得S=1,i=1满足条件i2,执行循环体,S=3,i=2满足条件i2,执行循环体,S=3+4=7,i=3不满足条件i2,退出循环,输出S的值为7故答案为:715. 下列四个结论中,错误的序号是_.以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为,若曲线C上总存在两个点到原点的距离为,则实数a的取值范围是;在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域宽度越宽,说明模型拟合精度越高;设随机变量,若,则;已知n为满足能被9整除的正数a的最小值,则的展开式中,系数最大的项为第6项.参考答案:234【分析】对于,把极坐标方程化为直角坐标方
7、程,结合圆心与原点的距离关系可求;对于,带状区域宽度越宽,说明模型拟合误差越大;对于,先利用求出,然后再求;对于,先求出,再利用二项式定理的通项公式求解系数最大的项.【详解】对于,化为直角坐标方程为,半径为.因为曲线C上总存在两个点到原点的距离为,所以,解得,故正确;对于,带状区域宽度越宽,说明模型拟合误差越大,故错误;对于,解得;,故错误;对于,而,所以,所以的系数最大项为第7项,故错误;综上可知错误.【点睛】本题主要考查命题真假的判定,涉及知识点较多,知识跨度较大,属于知识拼盘,处理方法是逐一验证是否正确即可.16. 下列几个命题:函数是偶函数,但不是奇函数;“”是“一元二次不等式的解集为
8、”的充要条件; 设函数的定义域为,则 函数与的图象关于 轴对称;若函数为奇函数,则;已知,则的最小值为。其中正确的有_。参考答案:试题分析:函数是偶函数,也是奇函数,故错误;对于,若,则的图像不关于 轴对称,故错误;对于,由若等号成立,不成立,则,没有最小值,故错误,故选考点:函数的性质及不等式17. 已知x0,y0,且=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围。参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分13分)已知等差数列的公差为,首项为正数,将数列的前项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,(1)
9、求数列的通项公式与前项和; (2)是否存在三个不等正整数,使成等差数列且成等比数列.参考答案:(1)设前4项为 则或 或或 (3分) (6分)(2) (9分)但(12分)等号不成立故不存在三个不等正整数,使成等差数列且成等比数列. (13分)19. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,为边长为的等边三角形,(1)证明:平面平面ABCD;(2)求二面角的余弦值参考答案:(1)见解析;(2)【分析】(1)先根据余弦定理计算得,再根据勾股定理得,即得为等腰直角三角形,取的中点,可得结合条件根据线面垂直判定定理得,即得根据勾股定理得,根据线面垂直判定定理得,最后根据面面垂直判定定理
10、得结论,(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.【详解】(1)在中,由余弦定理可得,故,所以,且为等腰直角三角形.取的中点,连接,由,得,连接,因为,所以,所以.又,所以,即.又,所以,又.所以.(2)解:以为原点,所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设平面的法向量,令,则,所以,设平面的法向量,令,则,所以,故.因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.20. 底面边长
11、为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图,求的各边长及此三棱锥的体积. 参考答案: 4,4,4;21. 已知向量=(cosx1,sinx),=(cosx+1,cosx),xRf(x)=?(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ccosB+bcosC=1且f(A)=0,求ABC面积最大值参考答案:【分析】(1)利用平面向量的数量积公式得到三角函数式,然后利用倍角公式等化简,求单调增区间;(2)利用(1)的结论,求出A,然后借助于余弦定理求出bc1,从而求面积的最值【解答】解:(1)由题意知令,得f(x)的单调递增区间6(分)(2),又0A,则A
12、=又ccosB+bcosC=1得a=1,由余弦定理得得bc1ABC面积s=当且仅当b=c即ABC为等边三角形时面积最大为12(分)【点评】本题以向量为载体考查了三角函数式的化简、余弦定理的运用以及解三角形;属于中档题22. 某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天8h计算,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,问如何安排生产才能使利润最大?参考答案:解:设甲、乙两种产品分别生产x、y件,工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组:2分 5分目标函数为6分把变形为,这是斜率为,在y轴上的截距为的直线。当z变化时,可以得到一族互相平行的直线,当截距最大时,z取得最大值,由上图可以看出, , 当直线x=4与直线的交点M(4,2)时,截距的值最大,最大值为,这时2x+3y=14.所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获得最大利润14万元。 12分