返回返回后页后页前页前页 一、微分的概念5 微 分 若在有限增量公式 中删去高阶无穷小量项, 则得 关于 的一个线性近似式, 这就是“微分”; 其中的线性因子 即为 四、微分在近似计算中的应用 三、高阶微分 二、微分的运算法则导数. 所以, 微分和导数是一对相辅相成的概念.返回返回返回返回后页后页前页前页微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的数. 如果给边长 x 一个增量 , 正方形面积的增量 的线性部分 和 的高阶部分( )2.因此, 当边长 x 增加一个微小量 时, 可用一、微分的概念 由两部分组成 : 设一边长为 x 的正方形, 它的面积 S = x 2 是 x 的函线性部分, 请先看一个具体例子.返回返回后页后页前页前页 的线性部分来近似. 由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量 , 即以 为边长的小 正方形(如图).返回返回后页后页前页前页可以表示成定义 5 设函数 如果增量可微, 并称 为 f 在点 处的微分, 记作其中 A 是与 无关的常数, 则称函数 f 在点由定义, 函数在点 处的微分与增量只相差一个关于 的高阶无穷小量,而 是 的线性函数.返回返回后页后页前页前页于是定理 5.10 函数 在点 可微的充要条件是 在点 可导, 且证 (必要性) 如果 在点 可微, 据 (1) 式有更通俗地说, 是 的线性近似.返回返回后页后页前页前页即 在点 可导, 且(充分性) 设 在点 处可导,则由 的有限增量公式 说明函数增量 可且表示为 的线性部分 ,与关于 的高阶无穷小量部分 之和.所以 在点 可微,微分概念的几何解释, 示于下图:返回返回后页后页前页前页它是点 P 处切线相 在点 的增量为 而微分是应于 的增量.当 很小时,两者之差 相比于将是更小的量(高阶无穷小).更由于返回返回后页后页前页前页故若 则得到 的高阶无穷小量.若函数 在区间 上每一点都可微,则称 是 上它既依赖于 , 也与 有关.的可微函数.返回返回后页后页前页前页(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看 所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面习惯上喜欢把 写成 ,于是 (3) 式可改写成这相当于 的情形, 此时显然有 (5) 积分学部分中. 成函数的微分与自变量的微分之商, 即返回返回后页后页前页前页例1返回返回后页后页前页前页由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:故运算法则 4 又可以写成二、微分的运算法则返回返回后页后页前页前页解它在形式上与(4)式完全一样, 不管 是自变量还例2 求 的微分.立. 这个性质称为“一阶微分形式不变性”.是中间变量 ( 另一个变量的可微函数 ) , 上式都成返回返回后页后页前页前页的计算中, 用了一阶微分形式不变性.例3 求 的微分.解返回返回后页后页前页前页三、高阶微分或写作称为 f 的二阶微分.则当 f 二阶可导时, dy 关于 x 的微分为若将一阶微分 仅看成是 的函数, 注 由于 与 x 无关, 因此 x 的二阶微分 三者各不相同, 不可混淆.返回返回后页后页前页前页当 x 是中间变量 时, 二阶微分依次下去, 可由 阶微分求 n 阶微分:对 的 n 阶微分均称为高阶微分. 高阶微分不具有形式不变性. 当 x 是自变量时, 的二阶微分是为返回返回后页后页前页前页例4解法一不一定为 0, 而当 x 为自变量时,它比 (6) 式多了一项当时,由 (6) 得返回返回后页后页前页前页解法二 依 (7) 式得如果将漏掉就会产生错误.返回返回后页后页前页前页四、微分在近似计算中的应用1. 函数值的近似计算(9) 式的几何意义是当 x 与 x0充分接近时, 可用点故当 很小时, 有 由此得记 , 即当 时，(8) 式可改写为返回返回后页后页前页前页公式 (9) 分别用于sin x, tan x, ln(1+x), ex ( x0= 0 ), 例5 试求 sin 33o 的近似值 ( 保留三位有效数字 ).解 由公式 (9) 得到 处的切线近似代替曲线, 这种线性近可得近似计算公式 ( 试与等价无穷小相比较 ): 似的方法可以简化一些复杂的计算问题.返回返回后页后页前页前页2. 误差的估计设数 x 是由测量得到的, y 是由函数 经过果已知测量值 x0 的误差限为 , 即算得到的 y0= f (x0) 也是 y = f (x) 的一个近似值. 如差, 实际测得的值只是 x 的某个近似值 x0 . 由 x0 计计算得到. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误返回返回后页后页前页前页例6 设测得一球体直径为 42cm, 测量工具的精度则当 很小时, 量 y0 的绝对误差估计式为:相对误差限则为而 的为 y0 的绝对误差限,为 0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的返回返回后页后页前页前页解 以 d0 = 42, 计算的球体体积和误差估绝对误差限和相对误差限.计分别为:.。