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1、湖南省郴州市五岭中学湖南省郴州市五岭中学 2022 年高二数学理上学期期末试题含年高二数学理上学期期末试题含解析解析 一、一、 选择题：本大题共选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的是一个符合题目要求的 1. 设 A，B是全集的子集,则满足的 B的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 参考答案：参考答案： B 试题分析：A，B是全集 I=1，2，3，4的子集，A=l，2，则满足 A?B的 B为：1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4 考点：集合的子
2、集 2. 在复平面内，复数 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 参考答案：参考答案： D 3. 已知命题：，那么命题为 ( ) A.， B.， C.， D.， 参考答案：参考答案： C 略 4. 已知命题：实数满足，命题：函数是增函数。若为真命题， 为假命题，则实数的取值范围为 （ ） A B C D. 参考答案：参考答案： A 略 5. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 （ ） A B C D 参考答案：参考答案： D 略 6. 若则目标函数的取值范围是 A2，6 B2，5 C3，6 D3，5 参考答案：参考答案： A 略 7.
3、 已知则关于的方程有实根的概率是 （ ） A B C D 参考答案：参考答案： A 8. 某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的 路，设在途中花的时间为 t，离开家里的路程为 d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）. A. B. C. D. 参考答案：参考答案： C 9. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） Aa，b，c 都是奇数 Ba，b，c 都是偶数 Ca，b，c 中至少有两个偶数 Da，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 参考答案：参考答案： D 【考点】FC：反证法 【分析】“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”
4、的反面是：a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数即可得出 【解答】解：用反证法证明某命题时， 对结论：“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 故选：D 10. 已知命题 P：?x0，x30，那么?P 是（ ） A?x0，x30 B?x0，x30 C?x0，x30 D?x0，x30 参考答案：参考答案： C 【考点】命题的否定 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 P：?x0，x30，那么?P 是?x0，x30 故选：C 二、二、 填空题填空题:本大题共本大题共 7 小题小题
5、,每小题每小题 4 分分,共共 28 分分 11. 已知菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，沿对角线 BD 将ABD 折起，使二面角 A-BD-C 为 120，则点 A 到BCD 所在平面的距离等于_ 参考答案：参考答案： 略 12. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点 F1，F2，且在第一象限交于点 P，椭圆与双曲线的离心率分别为，若，则的最小值为 参考答案：参考答案： ，所以解得 在 中，根据余弦定理可得 代入得 化简得 而 所以的最小值为. 13. 用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得下表： 运算次数 1 4 5 6 解的范围 若精确到，至少运算次，则的值为 参考答案：
6、参考答案： 5.3 略 14. 直线 3x+4y+2=0 被圆截得的弦长为 参考答案：参考答案： 略 15. 若实数满足，则的最小值为 参考答案：参考答案： 16. 已知等差数列的前 2006 项的和，其中所有的偶数项的和是 2，则的值为_. 参考答案：参考答案： 2 略 17. 观察下列等式照此规律，第个等式为 。 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 参考答案：参考答案： 三、三、 解答题：本大题共解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函
7、数（，且）. （1）若曲线在处的切线和直线平行，且方程有两个不等的实根，求 m的取值范围； （2）若，不等式恒成立，求 a的取值范围. 参考答案：参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）根据曲线在处的切线和直线平行，利用导数的几何意义求得，再将方程有两个不等的实根，转化为函数的图象和直线有两个不同的交点求解. （2）由，即对恒成立，令，只要其最小值大于等于零求解即可. 【详解】（1）因为， 由，解得， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减，又因为当时， 方程有两个不等的实根， 即函数的图象和直线有两个不同的交点，故. （2）由，即对恒成立， 令，则，令，得. 当时，；当时， 所以的最小值
8、为， 令，则，令，得. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以当时，的最小值为，所以， 当时，的最小值为，所以， 综上：故的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导数在函数的零点和不等式恒成立中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 19. （本题满分 12 分） 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为.求抛物线与双曲线的方程. 参考答案：参考答案： 解: 由题意知,抛物线焦点在 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为, 将交点代入得,故抛物线方程为, 双曲线的焦点坐标为,则. 又点也在双曲线上,因此有. 又,因此
9、可以解得, 因此,双曲线的方程为. 略 20. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2=2x 相交于 A、B 两点 （1）求证：“如果直线 l 过点 T（3，0），那么=3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 参考答案：参考答案： 【考点】四种命题的真假关系；抛物线的简单性质 【分析】（1）设出 A，B 两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可， （2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出 A，B 两点的坐标根据向量运算求证即可 【解答】解：（1）设过点 T（3，0）的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A（x1，y1）、B（x2，y
10、2） 当直线 l 的钭率不存在时，直线 l 的方程为 x=3， 此时，直线 l 与抛物线相交于点 A（3，）、B（3，） =3； 当直线 l 的钭率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（x3），其中 k0， 由得 ky22y6k=0?y1y2=6 又， ， 综上所述，命题“如果直线 l 过点 T（3，0），那么=3”是真命题； （2）逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点， 如果=3，那么该直线过点 T（3，0）该命题是假命题 例如：取抛物线上的点 A（2，2），B（，1）， 此时=3， 直线 AB 的方程为：，而 T（3，0）不在直线 AB 上； 说明：由抛物线 y2=
11、2x 上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得 y1y2=6， 或 y1y2=2，如果 y1y2=6，可证得直线 AB 过点（3，0）；如果 y1y2=2，可证得直线 AB 过点（1，0），而不过点（3，0） 21. （本小题满分 12 分）已知函数，（） （1）若 x3 是的极值点，求在1，a上的最小值和最大值； （2）若在时是增函数，求实数 a 的取值范围 参考答案：参考答案： (1)， 由题意得，则， 当单调递减，当单调递增 ， ； . （2）， 由题意得，在恒成立，即 在恒成立， 而 所以，. 22. 观察下列各不等式： 1+， 1+， 1+， 1+， （1）由上述不等式，归纳出一个与正整数 n（n2）有关的一般性结论； （2）用数学归纳法证明你得到是结论 参考答案：参考答案： 解：（1）观察 1+ ， 1+ ， 1+ ， 1+ ， 各不等式，得到与正整数 n 有关的一般不等式为 1+且 n2 （2）以下用数学归纳法证明这个不等式 当 n=2 时，由题设可知，不等式显然成立 假设当 n=k 时，不等式成立，即 1+ 那么，当 n=k+1 时，有 1+ = 所以当 n=k+1 时，不等式也成立根据和，可知不等式对任何 nN+且 n2 都成立 略
