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1、湖南省常德市桃源县牯牛山乡中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，那么(A) 或(B) (C) 或(D) 参考答案：B略2. 函数y=acosx（a0且a1）的图象可能是（）ABCD参考答案：C【考点】函数的图象【分析】讨论a的范围，根据指数函数和三角函数的性质得出y的范围和x=0时的函数值，从而得出函数图形的形状【解答】解：若a1，则当x=0时，y=a0，1cosx1，y=acosxa1=0，故A错误；当0a1时，当x=0时，y=a0，1cosx1，y=acosxa1=0，故
2、C正确，D错误，综上可得，当x=0时，y0，故B错误；故选：C3. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（A）（B）（C）（D）参考答案：D略4. 在等差数列中，则=（ ） A. B. C. D.参考答案：D5. 若向量 实数满足 则的最小值为（ ）A1 B2 C3 D4参考答案：D6. 已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项使得的最小值为 （）A B C. D9参考答案：A略7. 定义在R上的函数为奇函数，且为偶函数.记，若，则一定有 （ ）A B C D 参考答案：C8. 设是各项为正数的
3、无穷数列，是边长为的矩形的面积（），则为等比数列的充要条件是（ ）（A）是等比数列.（B）或是等比数列.（C）和均是等比数列。（D）和均是等比数列，且公比相同.参考答案：D本题考查等比数列的概念及其应用，难度中等.由题意可知，若是等比数列，则，即数列的奇数项、偶数项都成等比数列，且公比都等于的公比，故选择D.9. 函数的图象可能是参考答案：A略10. 函数f（x）=3sin（2x）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A向右平移个单位长度得到B向左平移个单位长度得到C向右平移个单位长度得到D向左平移个单位长度得到参考答案：C【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用y=Asin（x
4、+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）3sin2（x）=3sin（2x）的图象，故选：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，(i为虚数单位)，则实数a的值是 参考答案：由(1+2i)(1+ai)得，因为是纯虚数，所以，解得。12. 已知集合,集合且则m =_，n = _.参考答案：m=-1,n=1略13. 若a0，则的最小值是_参考答案：514. 已知点O是三角形ABC的边BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC分别于M、N，则参考答案：2略15. 给出下列等式：； ；，由以
5、上等式推出一个一般结论：对于= 。参考答案：16. 设O为坐标原点，抛物线的准线为，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A,B两点，直线AO与相交于D,若，则_.参考答案：略17. 根据表格中的数据，可以判定函数有一个零点所在的区间为，则的值为 1234500.691.101.391.61参考答案：3三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （10分）在直角坐标系中，以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为.(I)求与交点的极坐标;(II)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为,求的值.参考答案：19. 某
6、市县乡教师流失现象非常严重，为了县乡孩子们能接受良好教育，某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要1万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要3万元，已知现在该市县乡中学无多余教师，为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市50所县乡中学在过去三年内的教师流失数，得到如表的频率分布表：流失教师数6789频数10151510以这50所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师数发生的概率，记X表示两所县乡中学在过去三年共流失的教师数，n表示今年为两所县乡中学招聘的教师数为保障县乡孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招
7、聘（1）求的分布列；（2）若要求，确定n的最小值；（3）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？参考答案：解：（1）由频数分布表中教师流失频率代替教师流失概率可得，一所县乡中学在三年内流失的教师数为6,7,8,9的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2所有可能的取值为：12,13,14,15,16,17,18，且，所以的分布列为：121314151617180.040.120.210.260.210.120.04（2）由（1）知，故的最小值为15（3）记表示两所县乡中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）当时，的分布列为：151821240.63
8、0.210.120.04；当时，的分布列为：1619220.840.120.04可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选20. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为.（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点，若直线l与曲线C交于P、Q两点，PQ中点为M，求的值.参考答案：（1）.（2）【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线的参数方程为，代入方程得到，代入计算得到答案.【详解】（1）直线，故，即直线的直角坐标方程为. 因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即. （2
9、）设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标系方程得.设，对应的参数分别为，则，所以M对应的参数，故.【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.21. （14分）已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（a0）（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性；（）若对任意的a（3，2），x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围参考答案：【考点】： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f
10、（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（）当a0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（）若对任意a（3，2）及x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围解：（）依题意知f（x）的定义域为（0，+），当a=0时，f（x）=2lnx+，f（x）=，令f（x）=0，解得x=，当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0又f（）=2ln2f（x）的极小值为22ln2，无极大值（）f（x）=+2a=，当a2时，令f（x）0 得 0x或x，令f（x）0 得x；当2a
11、0时，得，令f（x）0 得 0x或x，令f（x）0 得 x；当a=2时，f（x）=0，综上所述，当a2时f（x），的递减区间为（0，）和（，+），递增区间为（，）；当a=2时，f（x）在（0，+）单调递减；当2a0时，f（x）的递减区间为（0，）和（，+），递增区间为（，）（）由（）可知，当a（3，2）时，f（x）在区间1，3上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）f（x2）|f（1）f（3）=（1+2a）（2a）ln3+6a=4a+（a2）ln3，（m+ln3）aln3|f（x1）f（x2）|恒成立，（m+ln3）a2ln34a+（a2）ln3整理
12、得ma4a，a0，m4恒成立，3a2，4，m【点评】： 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想属难题22. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足. （）求证：数列是等比数列；（）求数列的前n项和.参考答案：（I）证明见解析；（II）.【分析】（I）令，利用可求得；当时，利用整理可得，从而证得结论；（II）由（I）可得的通项公式，从而求得，利用错位相减法求得结果.【详解】（I）令，解得：当且时，即 是以为首项，为公比的等比数列（II）由（I）知： 设数列前项和为则两式作差得：【点睛】本题考查根据与关系、递推关系式证明数列为等比数列、错位相减法求解数列的前项和的问题；关键是能够熟练掌握数列求和的方法，当数列的通项公式为等差与等比的乘积的形式时，选择错位相减法来求和.
