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1、数学圆锥曲线总结1，圆锥曲线的两个定义 ：（ 1）第确定义中要重视“括号”内的限制条件： 椭圆中,与两个定点 F ,F 的距离的和等于常数 ,且此常数 确定要大于 ,当常数等于 时,轨迹是线段 F F ,当常数小于 时,无轨迹. 双曲线中 ,与两定点 F , F 的距离的差的确定值等于常数 ,且此常数 确定要小于 |F F | ,定义中的 “绝对值”与|FF | 不行忽视 .如|FF | ,就轨迹是以 F ,F 为端点的两条射线,如|FF | ,就轨迹不存在.如去掉定义中的确定值就轨迹仅表示双曲线的一支.（2）其次定义中要留意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子，点线距为分母 ”,
2、其商即是离心率.圆锥曲线的其次定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用其次定义对它们进行相互转化 .Attention：（1）在求解椭圆，双曲线问题时,第一要判定焦点位置,焦点F ,F 的位置,是椭圆，双曲线的定位条件,它准备椭圆，双曲线标准方程的类型, 而方程中的两个参数,确定椭圆，双曲线的形状和大小,是椭圆，双曲线的定形条件. 在求解抛物线问题时, 第一要判定开口方向.（2）在椭圆中, 最大,在双曲线中,最大,.4. 圆锥曲线的几何性质 ：（ 1） 椭圆（以（）为例）：范畴：.焦点：两个焦点.对称性：两条对称轴,一个对称中心（ 0,0 ）,四个顶点,其中
3、长轴长为 2,短轴长为 2.准线：两条准线. 离心率：,椭圆, 越小,椭圆越圆.越大,椭圆越扁.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2） （ 2） 双曲线 （以（）为例）：范畴：或.焦点：两个焦点.对称性：两条对称轴,一个对称中心（0,0 ）,两个顶点,其中实轴长为 2,虚轴长为 2, 特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为.准线：两条准线. 离心率：,双曲线,等轴双曲线, 越小,开口越小,越大,开口越大.两条渐近线：.（ 3） 抛物线（以为例）：范畴：.焦点：一个焦点,其中 的几何意义是：焦点到准线的距离.对称性：一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点（ 0,0 ）.准
4、线：一条准线.离心率：,抛物线.5，点和椭圆（）的关系 ：（ 1）点在椭圆外.（ 2）点在椭圆上1.（3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系 ：（1） ） 相交：直线与椭圆相交.直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不愿定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但可编辑资料 - - - 欢迎下载不是必要条件.直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不愿定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点, 故也仅是直线与抛物线相交的充分条件, 但不是必要条件.Attention：（1） ）直线与双曲线，抛物线只有一个公共点时的
5、位置关系有两种情形：相切和相交.假如直线与双曲线的渐近线平行时 , 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点.假如直线与抛物线的轴平行时 , 直线与抛物线相交 , 也只有一个交点.（2） 过双曲线1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条.P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条.P 在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线.P 为原点时不存在这样的直线.（2） ） 过抛物线外一点
6、总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.7，焦半径 （圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离） 的运算方法 ：利用圆锥曲线的其次定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离.8，焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第确定义和正弦，余弦定理求解.设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,就在椭圆中, ,且当即 为短轴端点时, 最大为.,当即 为短轴端点时,的最大值为 bc.对于双 曲 线的 焦 点 三 角 形 有 ： .可编辑资料 - - - 欢迎下载9，抛物线中与焦点弦有关
7、的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切.（ 2）设 AB为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就 AMFBMF.（3）设 AB为焦点弦, A，B 在准线上的射影分别为 A ,B ,如 P为 A B的中点,就 PAPB.（4）如 AO的延长线交准线于 C,就 BC平行于 x 轴,反之,如过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C点,就 A, O, C三点共线.10，弦长公式 ：如直线与圆锥曲线相交于两点A，B,且分别为 A，B的横坐标,就,如分别为 A，B 的纵坐标,就,如弦 AB所在直线方程设为,就.特别地,焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运
8、算, 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解.11，圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率 k=.在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=.在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率 k=.Attention：由于是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 故在求解有关弦长，对称问题时,务必别忘了检验。12重要结论：（ 1）双曲线的渐近线方程为.（ 2 ）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数,0）.可编辑资料 - - - 欢迎下载如与双曲线有共同的渐近线, 且过点的双曲线方程为（ 答：）（ 3）中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为.（ 4）椭圆，双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为,焦准距（焦点到相应准线的距离）为,抛物线的通径为,焦准距为.（ 5）通径是全部焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.（ 6 ） 如 抛 物 线的 焦 点 弦 为AB , 就.（ 7）如 OA，OB是过抛物线顶点 O 的两条相互垂直的弦,就直线AB恒经过定点可编辑资料 - - - 欢迎下载
