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1、高中数学函数学问点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域，对应法就，值域）两点必需同时具备 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是（答：,）函数定义域求法：分式中的分母不为零.偶次方根下的数（或式）大于或等于零.指数式的底数大于零且不等于一.对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.正切函数且余切函数且反三角函数的定义域,函数 yarccosx的定义域是值域是1, 1 ,函数 yarcsinx 的定义域是1, 1,值域是0, 函数 y arctgx 的定义域是R ,值域是 .,函数 yarcctgx 的定义域是R ,值域是0, .当以上几个方面有两个或
2、两个以上同时显现时,先分别求出中意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域.3. 如何求复合函数的定义域？如：函数 fx 的定义域是,就函数的定义域是 .（答：,）复合函数定义域的求法：已知的定义域为,求的定义域,可由解出 x 的范畴,即为的定义域.例如函数的定义域为,就 flog2x 的定义域为.分析：由函数的定义域为可知：.所以2x中有.解：依题意知：解之,得 flog2x 的定义域为4，函数值域的求法1，直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到.1 例 求函数 y=的值域x2，配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.例，求函数 y=x2-2x+5
3、,-1,2 的值域.3，判别式法对二次函数或者分式函数 （分子或分母中有一个是二次）都可通用, 但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面可编辑资料 - - - 欢迎下载下面,我把这一类型的详细写出来,期望大家能够看懂b 型：直接用不等式性质k+x2型,先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载x11例：x+x型法一：用判别式型 通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载法二：用换元法,把分母替换掉（x+1） （x+1）+1 1例：（ x+1）4，反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.例 求函数 y=值域.5，函数有界性法
4、直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.例 求函数 y=x,的值域.即又由解不等式,求出y,就是要求的答案6，函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个（ 2x1）0 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载域y 的取值范畴2y-2x 的取值范畴解:1令d 为圆心到直线的距离 ,R 为半径 2令 y-即也是直线例求函数就是一条过 -2,0的直线的值域.解：原函数可化简得： y=x-2 +x+8上式可以看成数轴上点P（ x）到定点 A （2）,B（-8）间的距离之和.由上图可知：当点P 在线段 AB 上时,y=x
5、-2 +x+8= AB =10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时,y=x-2 +x+8 AB =10故所求函数的值域为： 10,+）例求函数的值域2 解：原函数可变形为：上式可看成 x 轴上的点 P（ x,0）到两定点 A（3,2）, B（-2,-1）的距离之和,由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时,ymin= AB =故所求函数的值域为 43,+）.注：求两距离之和时,要将函数9 ，不等式法, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载利用基本不等式a+b2a,ba+b+c33ab（ca,b,cR）,求函数的最值,其题型可编辑资料 - - - 欢迎下载特点解析式是和式时要求积为定
6、值,解析式是积时要求和为定值, 不过有时必要用到拆项，添项和两边平方等技巧.2 例：应用公式者的乘积变成常数）x23-2x0<x<1.5-可编辑资料 - - - 欢迎下载应用公式时,应留意使 3 者之和变成常数） 310.倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况例求函数的值域时 , 时, y=02多种方法综合运用可编辑资料 - - - 欢迎下载总之,在详细求某个函数的值域时,第一要仔细，仔细观看其题型特点,然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法, 函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特别方法.5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时
7、,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特别是做大题时,确定要留意附加条件,如定义域，单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂如：,求令,就6. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x.互换 x，y.注明定义域）如：求函数的 反 函 数（ 答 ：）在更多时候, 反函数的求法只是在选择题中显现,这就为我们这些宠爱偷懒的人供应了大便利.请看这个例题：2004.全国理 函数的反函数是（B）A y=x2 2x+2x<1C y=x2 2xx<1B y=x2 2x+2x 1 D y=x22xx 1当然,心情好的同学,可以自己慢慢的运算,我想
8、,一番心血之后,假如不显现运算问题的话,答案仍是可以做出来的.惋惜,这个不合我胃口,由于我一向懒散惯了,不习惯运算.下面请看一下我的思路：原函数定义域为x=1,那反函数值域也为y>=1.排除选项 C,D.现在看值域.原函数至于为 y>=1, 就反函数定义域为x>=1,答案为 B.我题目已经做完了,好像没有动笔（除非你拿来写* 书）.思路能不能明白呢？7. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1， 反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）2， 反函数的值域是原函数的定义域 （可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x）3， 反函数的图像和原函数关于直线=x
9、 对称（难怪点（ x,y）和点（ y,x ）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称.储存了原先函数的单调性，奇函数性.设的定义域为 A ,值域为 C,就,由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如（ 04. 上海春季高考）已知函数, 就方程的解可编辑资料 - - - 欢迎下载8 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值，作差，判正负）判定函数单调性的方法有三种：1定义法：依据定义,设任意得x1,x2 ,找出fx1,fx2 之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1 的关系2参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a,b对称,函数 fx 在关于点 a,0的对称区间具有相同
10、的单调性.（特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线xa 对称,就函数 fx 在关于点 a,0的对称区间里具有相反的单调性. （特例：偶函数）3利用单调函数的性质：函数 fx 与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx 与 cfxc 是常数 ,当 c 0 时,它们是同向变化的.当 c 0 时,它们是反向变化的. 假如函数 f1x ,f2x 同向变化, 就函数 f1x f2x 和它们同向变化.（函数相加）假如正值函数f1x , f2x 同向变化,就函数f1xf2x 和它们同向变化.假如负值函数 f12与 f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们反向变化.（函数相乘）函数 fx 与 1
11、fx 在 fx 的同号区间里反向变化.如函数 ux,x ,与函数 y Fu,u , 或 u , 同 向可编辑资料 - - - 欢迎下载变化,就在 ,上复合函数yF x是递增的.如函数ux,x,与函可编辑资料 - - - 欢迎下载数 yFu,u , 或 u , 反向变化,就在 ,上复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载yF x是递减的.（同增异减）可编辑资料 - - - 欢迎下载 1如：求的单调区间（设,由就且,如图：22可编辑资料 - - - 欢迎下载当,1时,又,2当,2时,又,2 , ）9. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间,）A. 0（ 令就或,即由已知 fx 在1 ,上为增函数,
12、就 a 的最大值为 3）10. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ fx 定义域关于原点对称）如总成立为奇函数函数图象关于原点对称如总成立为偶函数函数图象关于 y 轴对称留意如下结论：（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数.两个偶函数的乘积是偶函数.一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.（ 2）如 fx 是奇函数且定义域中有原点,就.为奇函数,就实数如：如（ fx 为奇函数,又,）即2x,又如： fx 为定义在, 1上的奇函数,当, 1时,求 fx 在,上的解析式.（令,就,又 fx 为奇函数,又,11.判定函数奇偶性的方法,）一， 定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件 .如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.二， 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性 .
