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1、河北省秦皇岛市陈官屯乡中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 中，三边长，满足，那么的形状为（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上均有可能参考答案：A略2. 已知函数与函数，若与的交点在直线两侧，则实数的取值范围( ) A B C D参考答案：C略3. 若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为A3 B5 C7 D10参考答案：B4. 设变量，满足约束条件，则的最大值为 参考答案：C依题意，画出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数，当直线经
2、过点时，取得最大值，即故选【解题探究】本题考查线性规划问题中的最优解求解先画出满足条件的可行域，再通过平移直线找到在可行域中满足使取得最大值的点5. 已知y=f（x）是周期为2的函数，当x0，2）时，f（x）=sin，则f（x）=的解集为（）Ax|x=2k+，kZBx|x=2k+，kZCx|x=2k，kZDx|x=2k+（1）k，kZ参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】先求出0，2）上的x的取值，再由周期性得到全体定义域中的解集【解答】解：f（x）=sin=，x0，2），0，）=或x=或f（x）是周期为2的周期函数，f（x）=的解集为x|x=2k，kZ故选C6. 设i是虚数单位
3、，则复数的虚部为（）AiBiC1D1参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=1i的虚部为1故选：D7. 设表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A若，则 B若 C若，则 D若参考答案：D略8. 直线y=5与y=1在区间0，截曲线y=msinx+n（m，n0）所得的弦长相等且不为零，则下列正确的是（）AmBm3，n=2CmDm3，n=2参考答案：D略9. 若复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则A B2 C D3参考答案：A10. 已知复数z=（aR）的虚部为1，则a=（）A1B1C2D2参考答案：A【
4、考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数z=+i（aR）的虚部为1，=1，解得a=1故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的两条渐近线方程为参考答案：考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程解答： 解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：点评： 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量
5、的解题思想12. 已知全集U=1，2，3，4，5，A=1，3，则_参考答案：2，4，5【分析】根据补集的定义直接求解：?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合【详解】因为全集，所以根据补集的定义得故答案为：2，4，5【点睛】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于基础题13. 参考答案：答案:614. 设函数，函数的零点个数为 .参考答案：2试题分析：当时，令则显然与矛盾，表明此时无零点.当时，分两种情况：当时，令.解得；当时，令，解得.因此函数的零点个数为.15. 已知平面向量满足，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 参考答案：16. 若
6、直线和函数的图象恒过同一定点，则当取最小值时，函数的解析式是_。参考答案：略17. 已知一条抛物线的焦点是直线与x轴的交点，若抛物线与直线l交两点A，B，且，则_参考答案：根据题意设抛物线方程为与直线方程联立方程组，化简整理得，进一步整理，另设，则有，则 ，根据题意，直线l与x轴的焦点为，抛物线焦点为，即，代入到中，得，解得或（舍），即三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数.（）求函数f(x)的极值点；（）若直线l过点(0,1)，并且与曲线相切，求直线l的方程；（）设函数，其中，求函数g(x)在区间1,e上的最小值.（其中e为自然对数的底
7、数）参考答案：（）解： ， （2分）由得， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增（4分）所以，是函数的极小值点，极大值点不存在. （5分）（）解：设切点坐标为，则， （6分）切线的斜率为，所以， （7分）解得， 所以直线的方程为. （9分）（）解：，则， （10分）解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数. （11分）当，即时，在区间上，为递增函数，所以最小值为. （12分）当，即时，的最小值为. （13分）当，即时，在区间上，为递减函数，所以最小值为. （14分）19. 设椭圆，以短轴为直径的圆面积为，椭圆上的点到左焦点的最小距离是，为坐标原点.（）求椭圆和圆的方程；（）
8、如图，为椭圆的左右顶点，分别为圆和椭圆上的点，且轴，若直线分别交轴于两点（分别位于轴的左、右两侧）.求证：，并求当时直线的方程.参考答案：（1）由题意知，故所求椭圆方程为，圆（2）设，直线（易知斜率存在且不为0）将直线与联立得：，即所以直线的斜率为，从而的方程为所以，设，则所以故此时，当时，可得或者，故或者，所以直线的方程为或者或者20. 在等比数列an中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列（1）求数列an的通项公式（2）若数列bn满足b1+（nN+），bn的前n项和为Sn，求证Snn?an（nN+）参考答案：【考点】数列与不等式的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）通过将a2
9、、a3、a4、a5用公比q表示及条件a3、a2+a4、a5成等差数列，可求出q=2，利用等比数列的通项公式计算即可；（2）当n=1时，b1=a1=1，显然有S1=1a1；当n2时，利用=anan1可得bn=n?2n2，求出Sn、2Sn，两者相减，利用错位相减法解得Sn，计算即可【解答】（1）解：设数列an的公比为q，a1=1，a2=q，a3=q2，a4=q3，a5=q4，又a3，a2+a4，a5成等差数列，2（a2+a4）=a3+a5，即2（q+q3）=q2+q4，解得q=2或0（舍），an=2n1；（2）证明：数列bn满足b1+=an（nN+），当n=1时，b1=a1=1，此时S1=1a1；
10、当n2时， =anan1=2n12n2=2n2，bn=n?2n2，Sn=1+220+321+422+（n1）2n3+n2n2，2Sn=220+221+322+423+（n1）2n2+n2n1，两式相减，得Sn=1+21+22+23+2n2n2n1，Sn=n2n11（21+22+23+2n2）=n2n11=（n1）2n11=n2n1（1+2n1）n2n1=n?an，综上所述，Snn?an（nN+）【点评】本题考查考查等差、等比数列的性质，考查分类讨论的思想，考查分析问题的能力与计算能力，利用错位相减法求Sn是解决本题的关键，属于中档题21. 已知函数f（x）=+x（1）若函数f（x）的图象在（1
11、，f（1）处的切线经过点（0，1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值【解答】解：（1），f（1）=1，f（1）=ae+1函数f（x）在（1，
12、f（1）处的切线方程为：y（ae+1）=x1，又直线过点（0，1）1（ae+1）=1，解得：a= （2）若a0，（x0），当x（，0）时，f（x）0恒成立，函数在（，0）上无极值；当x（0，1）时，f（x）0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x（1，+）时，令H（x）=aex（x1）+x2，则H（x）=（aex+2）x，x（1，+），ex（e，+，）a为负整数a1，aexaeeaex+20，H（x）0，H（x）在（1，+）上单调减，又H（1）=10，H（2）=ae2+4e2+40?x0（1，2），使得H（x0）=0 且1xx0时，H（x）0，即f（x）0；xx0时，H（x）0，即f（x）0；f（x）在x0处取得极大值 （*）又H（x0）=aex0（x01）+x02=0，代入（*）得：，不存在负整数a满足条件 （3）设g（x）=aex（x1）+x
