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1、河北省秦皇岛市陈官屯乡中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 中,三边长,满足,那么的形状为( )A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上均有可能参考答案:A略2. 已知函数与函数,若与的交点在直线两侧,则实数的取值范围( ) A B C D参考答案:C略3. 若二项式的展开式中含有非零常数项,则正整数的最小值为A3 B5 C7 D10参考答案:B4. 设变量,满足约束条件,则的最大值为 参考答案:C依题意,画出满足条件的可行域如图中阴影部分,则对于目标函数,当直线经
2、过点时,取得最大值,即故选【解题探究】本题考查线性规划问题中的最优解求解先画出满足条件的可行域,再通过平移直线找到在可行域中满足使取得最大值的点5. 已知y=f(x)是周期为2的函数,当x0,2)时,f(x)=sin,则f(x)=的解集为()Ax|x=2k+,kZBx|x=2k+,kZCx|x=2k,kZDx|x=2k+(1)k,kZ参考答案:C【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】先求出0,2)上的x的取值,再由周期性得到全体定义域中的解集【解答】解:f(x)=sin=,x0,2),0,)=或x=或f(x)是周期为2的周期函数,f(x)=的解集为x|x=2k,kZ故选C6. 设i是虚数单位
3、,则复数的虚部为()AiBiC1D1参考答案:D【考点】A5:复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解:复数=1i的虚部为1故选:D7. 设表示两条直线,表示两个平面,则下列命题是真命题的是( ) A若,则 B若 C若,则 D若参考答案:D略8. 直线y=5与y=1在区间0,截曲线y=msinx+n(m,n0)所得的弦长相等且不为零,则下列正确的是()AmBm3,n=2CmDm3,n=2参考答案:D略9. 若复数满足(为虚数单位),为的共轭复数,则A B2 C D3参考答案:A10. 已知复数z=(aR)的虚部为1,则a=()A1B1C2D2参考答案:A【
4、考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解:复数z=+i(aR)的虚部为1,=1,解得a=1故选:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的两条渐近线方程为参考答案:考点: 双曲线的简单性质专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程分析: 先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程解答: 解:双曲线的a=4,b=3,焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为:点评: 本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量
5、的解题思想12. 已知全集U=1,2,3,4,5,A=1,3,则_参考答案:2,4,5【分析】根据补集的定义直接求解:?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合【详解】因为全集,所以根据补集的定义得故答案为:2,4,5【点睛】本题考查了补集的定义以及简单求解,属于基础题13. 参考答案:答案:614. 设函数,函数的零点个数为 .参考答案:2试题分析:当时,令则显然与矛盾,表明此时无零点.当时,分两种情况:当时,令.解得;当时,令,解得.因此函数的零点个数为.15. 已知平面向量满足,与的夹角为,以为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 参考答案:16. 若
6、直线和函数的图象恒过同一定点,则当取最小值时,函数的解析式是_。参考答案:略17. 已知一条抛物线的焦点是直线与x轴的交点,若抛物线与直线l交两点A,B,且,则_参考答案:根据题意设抛物线方程为与直线方程联立方程组,化简整理得,进一步整理,另设,则有,则 ,根据题意,直线l与x轴的焦点为,抛物线焦点为,即,代入到中,得,解得或(舍),即三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数.()求函数f(x)的极值点;()若直线l过点(0,1),并且与曲线相切,求直线l的方程;()设函数,其中,求函数g(x)在区间1,e上的最小值.(其中e为自然对数的底
7、数)参考答案:()解: , (2分)由得, 所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增(4分)所以,是函数的极小值点,极大值点不存在. (5分)()解:设切点坐标为,则, (6分)切线的斜率为,所以, (7分)解得, 所以直线的方程为. (9分)()解:,则, (10分)解,得,所以,在区间上,为递减函数,在区间上,为递增函数. (11分)当,即时,在区间上,为递增函数,所以最小值为. (12分)当,即时,的最小值为. (13分)当,即时,在区间上,为递减函数,所以最小值为. (14分)19. 设椭圆,以短轴为直径的圆面积为,椭圆上的点到左焦点的最小距离是,为坐标原点.()求椭圆和圆的方程;()
8、如图,为椭圆的左右顶点,分别为圆和椭圆上的点,且轴,若直线分别交轴于两点(分别位于轴的左、右两侧).求证:,并求当时直线的方程.参考答案:(1)由题意知,故所求椭圆方程为,圆(2)设,直线(易知斜率存在且不为0)将直线与联立得:,即所以直线的斜率为,从而的方程为所以,设,则所以故此时,当时,可得或者,故或者,所以直线的方程为或者或者20. 在等比数列an中,a1=1,a3,a2+a4,a5成等差数列(1)求数列an的通项公式(2)若数列bn满足b1+(nN+),bn的前n项和为Sn,求证Snn?an(nN+)参考答案:【考点】数列与不等式的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】(1)通过将a2
9、、a3、a4、a5用公比q表示及条件a3、a2+a4、a5成等差数列,可求出q=2,利用等比数列的通项公式计算即可;(2)当n=1时,b1=a1=1,显然有S1=1a1;当n2时,利用=anan1可得bn=n?2n2,求出Sn、2Sn,两者相减,利用错位相减法解得Sn,计算即可【解答】(1)解:设数列an的公比为q,a1=1,a2=q,a3=q2,a4=q3,a5=q4,又a3,a2+a4,a5成等差数列,2(a2+a4)=a3+a5,即2(q+q3)=q2+q4,解得q=2或0(舍),an=2n1;(2)证明:数列bn满足b1+=an(nN+),当n=1时,b1=a1=1,此时S1=1a1;
10、当n2时, =anan1=2n12n2=2n2,bn=n?2n2,Sn=1+220+321+422+(n1)2n3+n2n2,2Sn=220+221+322+423+(n1)2n2+n2n1,两式相减,得Sn=1+21+22+23+2n2n2n1,Sn=n2n11(21+22+23+2n2)=n2n11=(n1)2n11=n2n1(1+2n1)n2n1=n?an,综上所述,Snn?an(nN+)【点评】本题考查考查等差、等比数列的性质,考查分类讨论的思想,考查分析问题的能力与计算能力,利用错位相减法求Sn是解决本题的关键,属于中档题21. 已知函数f(x)=+x(1)若函数f(x)的图象在(1
11、,f(1)处的切线经过点(0,1),求a的值;(2)是否存在负整数a,使函数f(x)的极大值为正值?若存在,求出所有负整数a的值;若不存在,请说明理由;(2)设a0,求证:函数f(x)既有极大值,又有极小值参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】(1)第一步确定切点;第二步求斜率,即求曲线上该点的导数;第三步利用点斜式求出直线方程(2)根据可导函数极值的定义,找到极值点,求出极值,当极大值为正数时,从而判定负整数是否存在;(3)利用单调性与极值的关系,求证:既存在极大值,有存在极小值【解答】解:(1),f(1)=1,f(1)=ae+1函数f(x)在(1,
12、f(1)处的切线方程为:y(ae+1)=x1,又直线过点(0,1)1(ae+1)=1,解得:a= (2)若a0,(x0),当x(,0)时,f(x)0恒成立,函数在(,0)上无极值;当x(0,1)时,f(x)0恒成立,函数在(0,1)上无极值;在x(1,+)时,令H(x)=aex(x1)+x2,则H(x)=(aex+2)x,x(1,+),ex(e,+,)a为负整数a1,aexaeeaex+20,H(x)0,H(x)在(1,+)上单调减,又H(1)=10,H(2)=ae2+4e2+40?x0(1,2),使得H(x0)=0 且1xx0时,H(x)0,即f(x)0;xx0时,H(x)0,即f(x)0;f(x)在x0处取得极大值 (*)又H(x0)=aex0(x01)+x02=0,代入(*)得:,不存在负整数a满足条件 (3)设g(x)=aex(x1)+x