2022年广东省深圳市罗湖中学高三数学文联考试题含解析

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1、2022年广东省深圳市罗湖中学高三数学文联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 等差数列的前n项和为,且,则 (A)8 (B)9 (C)1 0 (D) 11参考答案:B略2. 已知函数的最小正周期为,将函数f(x)的图象向右平移个单位后关于原点对称,则当m取得最小值时,函数的一个单调递增区间为( )A B C D参考答案:B由题意得到, 上先增后减,在上单增,在上单减,在 上先增后减,故答案为:B.3. 对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+3)=f(x),则f(1)+f(2)+f(3)=()A0B1C3

2、D2参考答案:A【考点】函数的周期性;函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由函数的性质可得f(0)=0,f(2)=f(1),代入计算可得【解答】解:由f(x+3)=f(x)可得函数的周期为3,又函数f(x)为R上的奇函数,f(0)=0,f(3)=(0+3)=f(0)=0,f(2)=f(1+3)=f(1)=f(1),f(1)+f(2)+f(3)=f(1)f(1)+0=0故选:A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性,属基础题4. 已知复数z满足,则复平面内与复数z对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案:D【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除

3、运算化简,求出z的坐标得答案【详解】由得,复数z在复平面内对应的点的坐标为(,),在第四象限故选:D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题5. 已知数列中,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A B C. D参考答案:A6. 函数有( )A极大值,极小值 B极大值,极小值C极大值,无极小值 D极小值,无极大值参考答案:C 解析: ,当时,;当时, 当时,;取不到,无极小值7. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)17517517617717

4、7则y对x的线性回归方程为A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 176参考答案:C本题考查了统计相关性,利用回归系数公式计算线性回归方程。兼顾考察学生数据处理的能力,令线性性回归方程,8. A2 B C D参考答案:A9. 若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 参考答案:A10. 若集合则集合A(-2,+)B(-2,3)C DR参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若非零向量,满足+2+3=,且?=?=?,则与的夹角为参考答案:【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向

5、量及应用【分析】由+2+3=,把用含有的式子表示,结合?=?=?,可得,然后代入数量积求夹角公式求解【解答】解:由+2+3=,得,代入?=?,得,即再代入?=?,得,即cos=与的夹角为故答案为:【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了数学转化思想方法,是中档题12. 已知点A(2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则|BF|=参考答案:10【考点】K8:抛物线的简单性质【分析】由题意先求出准线方程x=2,再求出p,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛物线方程,设出切点,并求导,得到切线AB的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方

6、程求出切点,再由两点的距离公式可求得【解答】解:点A(2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,即准线方程为:x=2,p0,=2即p=4,抛物线C:y2=8x,在第一象限的方程为y=2,设切点B(m,n),则n=2,又导数y=2,则在切点处的斜率为,=,即m+2=23,解得: =2或(舍去),切点B(8,8),又F(2,0),|BF|=10故答案为:1013. 一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球,若第三次(不放回地摸)摸到红球的概率为,则袋中红球有 个.参考答案:814. 已知球的表面积为64cm2,用一个平面截球,使截面球的半径为2cm,则截面与球心的距离是 cm参考答案:2考点:球的体

7、积和表面积 专题:计算题;空间位置关系与距离分析:先求出球的半径,再利用勾股定理,即可求出截面与球心的距离解答:解:球的表面积为64cm2,则球的半径为4cm,用一个平面截球,使截面球的半径为2cm,截面与球心的距离是=2cm故答案为:2点评:本题考查截面与球心的距离,考查球的表面积,求出球的半径是关键15. 以表示值域为的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间 例如,当时,.现有如下命题: 设函数的定义域为,则“”的充要条件是“”; 函数的充要条件是有最大值和最小值; 若函数的定义域相同,且,则; 若函数有最大值,则. 其中的真命题

8、有 (写出所有命题的序号)参考答案:16. (不等式选做题)若存在实数使成立,则实数的取值范围是 .参考答案:.不等式可以表示数轴上的点到点和点1的距离之和小于等于3,因为数轴上的点到点和点1的距离之和最小时即是在点和点1之间时,此时距离和为,要使不等式有解,则,解得.17. 已知公差不为0的等差数列满足成等比数列,为数列的前项和,则的值为 参考答案:2三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知函数 ()当时,求函数的最小值和最大值; ()设的内角的对应边分别为,且,若向量与向量共线,求的值。参考答案:。,从而。则的最小值是,

9、最大值是。(2),则,解得。向量与向量共线,由正弦定理得, 由余弦定理得,即由解得。略19. 已知函数为常数),直线与函数、的图象都相切,且与函数图象的切点的横坐标为1(1)求直线的方程及的值;(2)若g注:g是g的导函数,求函数的单调递增区间;(3)当时,试讨论方程的解的个数参考答案:解:(1)由,故直线的斜率为1,切点为(1,),即(1,0),直线的方程为直线与的图象相切,等价于方程组只有一解,即方程的两个相等实根,(2),由,当时,是增函数,即的单调递增区间为(,0)(3)令,由,令,则,1当变化时,的变化关系如下表:()1(1,0)0(0,1)1(1,)+00+0极大值极小值极大值又为

10、偶函数,据此可画出的示意图如右图:当时,方程无解;当或时,方程有两解;当时,方程有三解;当时,方程有四解略20. 已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足.()当点在圆上运动时,求点的轨迹方程()若直线与()中所求的点的轨迹交于不同的两点和, 为坐标原点,且,求的取值范围.参考答案:21. 已知函数f(x)a(x1)lnx(aR),g(x)(1x)ex.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若对任意给定的x01,1,在区间(0,e上总存在两个不同的xi(i1,2),使得f(xi)g(x0)成立,求a的取值范围参考答案:(1)答案见解析;(2),+)【分析】(1)首先

11、求出函数的导数,分a0和a0两种情况讨论,然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间;(2)首先利用导数求出g(x)的值域为0,1,根据(1)可排除a0和0a的情况,由函数f(x)的单调性和图象分析可知,a满足以下条件时符合题意,结合构造函数求解不等式即可得到结果.【详解】(1)f(x)a(x1)lnx,x0,则f(x)a,当a0时,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上为减函数,当a0时,令f(x)0得x,令f(x)0得0x.故f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+),综上所述,当a0时,函数f(x)在(0,+)上为减函数,当a0时,f(x)在(0,)上为减函数,在(,+

12、)为增函数;(2)g(x)(1x)ex,g(x)xex,当x1,0)时,g(x)0,当x(0,1时,g(x)0,又g(0)1,g(1)0,g(1),当x1,1时,g(x)的值域为0,1,由(1)可知,当a0时,函数f(x)在(0,e上为减函数,不满足题意;当e,即0a时,函数f(x)在(0,e上为减函数,不满足题意;当0e时,即a时,函数f(x)在区间(0,)上为减函数,在(,e上为增函数,又x0,且x0时,f(x)+,函数f(x)的大概图像如下图,故对任意给定的x01,1,在区间(0,e上总存在两个不同的xi(i1,2),使得f(xi)g(x0)成立,当且仅当a满足以下条件,即(*)令h(a

13、)1a+lna,a(,+),则h(a)1,当a1时,h(a)0,当a1时,h(a)0,函数h(a)在(,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数,故h(a)maxh(1)0,从而(*)等价于,故a,故a的取值范围为,+)【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题,体现了分类讨论和数形结合的思想,着重考查学生对题意的理解与转化的思想,特别是问题(2)的设置,考查了学生创造性分析和解决问题的能力,属难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做,则按所做的第一题计分.22. 设公差不为零的等

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