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1、20092009 年全国年全国 1 1 高考理科数学试题及答案高考理科数学试题及答案第卷考生注意：1答题前，考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式AB，()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互独立，那么其中表示球的半径
2、AB，R球的体积公式()( )( )P A BP AP B如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP343VR次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR一、选择题(1)设集合 A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集 U=AB，则集合中的元素共有（A）()uABI（A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个解：，故选 A。也可用摩3,4,5,7,8,9AB 4,7,9()3,5,8UABCAB根律：()()()UUUCABC AC B（2）已知=2+i,则复数 z=（B ）1iZ（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i解： 故选 B。(1) (
3、2)1 3 ,1 3ziiizi (3) 不等式1 的解集为（ D ）11XX（A）x (B) 011xx x 01xx （C） (D)10 xx 0 x x解：验 x=-1 即可。(4)设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离22221xyab心率等于( C )（A） （B）2 （C） （D）356解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又00(,)P xy00|2x xyx0002yxx2001yx解得: .2201,2,1 ( )5bbxeaa (5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同
4、学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D )（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法112536225CCC (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有 345 种选法.选 D211562120CCC（6）设、是单位向量，且0，则的最小值为 ( D )abcab acbc（A） （B） （C） (D)222112解: 是单位向量, ,a b c 2()acbca babcc 故选 D.1 | | | 12cos,12abcab c （7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面111ABCABC1A
5、上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值ABCBCAB1CC为（ D ）BCBCA111AD（A） （B） （C） (D) 34547434解：设的中点为 D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的BC1A1A AB AB1CC角,由三角余弦定理，易知.故选 D113cocs4oscosAD ADA ADDABA A AB（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为cos 2yx343，0|（A） （B） （C） (D) 6432解: 函数的图像关于点中心对称cos 2yx343，0由此易得.故选 A4232k 13()6kkZmin|6 (9) 已知直线 y=x+1 与曲线相切，
6、则 的值为( B )yln()xa(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点，则,又00(,)P xy0000ln1,()yxayx001|1x xyxa.故答案选 B00010,12xayxa （10）已知二面角为 ，动点 P、Q 分别在面 、 内，P 到 的距离为l 60o，Q 到 的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最32 3小值为（ C ）(A) (B)2 (C) (D)42 3解:如图分别作 ,QAA AClC PBB于于于，连PDlD 于,60 ,CQ BDACQPBD 则，2 3,3AQBP2ACPD又222122 3PQAQAPAP当且仅当，即重合时取最小值。故答案
7、选 C。0AP AP点与点（11）函数的定义域为 R，若与都是奇函数，则( D )( )f x(1)f x(1)f x(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x函数解: 与都是奇函数，(1)f x(1)f x，(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4T 函数.，即是奇函数。(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x故选 D12.已知椭圆的右焦点为,右准线为 ，点，线段交于点，22:12xCyF
8、lAlAFCB若,则=( A )3FAFB |AF (A). (B). 2 (C). (D). 323解:过点 B 作于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意,BMll3FAFB 故.又由椭圆的第二定义,得.故选 A2|3BM 2 22|233BF |2AF第 II 卷二、填空题： 13. 的展开式中，的系数与的系数之和等于 。10 xy73x y37x y解: 373101010()2240CCC 14. 设等差数列的前项和为，若,则= 。 nannS972S 249aaa解: 是等差数列,由,得 na972S 599,Sa58a .2492945645()()32
9、4aaaaaaaaaa15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, 111ABCABC12ABACAA，则此球的表面积等于 。 120BAC解:在中,可得,由正弦定理,可得ABC2ABAC120BAC2 3BC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径ABCOORT OBO，故此球的表面积为. 5R 2420R16. 若，则函数的最大值为 。42x3tan2 tanyxx解:令,tan,xt142xt 4432224222tan2222tan2 tan81111111tan1()244xtyxxxtttt 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明
10、过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）（注意：在试题卷上作答无效）在中，内角 A、B、C 的对边长分别为、，已知，且ABCabc222acb 求 bsincos3cossin,ACAC分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1),左222acb侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在sincos3cossin,ACAC已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:ABCsincos3cossin,ACAC化简并整理得：.又由已知2222223
11、,22abcbcaacabbc2222()acb.解得.222acb24bb40(bb或舍）解法二:由余弦定理得: .2222cosacbbcA又 ,。222acb0b 所以 2 cos2bcA又 ，sincos3cossinACACsincoscossin4cossinACACAC，sin()4cossinACAC即sin4cossinBAC由正弦定理得，sinsinbBCc故 4 cosbcA由，解得。4b 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行
12、，不必强化训练。18（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面SABCDABCDSD ，,，点 M 在侧棱上，ABCD2AD 2DCSDSC=60ABM（I）证明：M 在侧棱的中点SC（II）求二面角的大小。SAMB解法一：（I）作交于点 E，则，平面 SADMECDSDMEABME 连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形作，垂足为 F，则 AFME 为矩形MFAB设，则，MExSEx222(2)2AEEDADx2(2)2,2MFAExFBx由2tan60 ,(2)23(2)MFFBxx。得解得1x 即，从而1ME 12MEDC所以为侧棱的中点MS
13、C（），又,所以为等边三角形，222MBBCMC60 ,2ABMABABM又由（）知 M 为 SC 中点，故2,6,2SMSAAM222,90SASMAMSMA取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则,由此知,BGAM GHAM为二面角的平面角BGHSAMB连接，在中，BHBGH22312223,2222BGAMGHSMBHABAH所以2226cos23BGGHBHBGHBG GH 二面角的大小为SAMB6arccos()3解法二:以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz设，则( 2,0,0)A( 2,2,0),(0,2,
14、0), (0,0,2)BCS（）设,则(0)SMMC2222(0,),( 2,)1111MMB又(0,2,0),60ABMB AB故| |cos60MBABMBAB即222422( 2)()()111解得，即1SMMC所以 M 为侧棱 SC 的中点（II）由，得 AM 的中点(0,1,1), ( 2,0,0)MA2 1 1(, )22 2G又2 31(,),(0, 1,1),(2,1,1)222GBMSAM 0,0GBAMMSAM所以,GBAM MSAM因此等于二面角的平面角,GB MSSAMB6cos,3| |GB MSGB MSGBMS 所以二面角的大小为SAMB6arccos()3总之在
15、目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。19（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。分析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导
16、致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。解：记表示事件：第 i 局甲获胜，i=3,4,5iA表示事件：第 j 局乙获胜，j=3,4jB（）记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而34345345BAABAAABA由于各局比赛结果相互独立，故34345345( )()()()P BP AAP BAAP ABA =34345345() ()() () ()() () ()P A P AP B P A P AP A P B P A =0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6 =0.648（II）的可能取值为 2，3由于各局比赛结果相互独立，所以3434(2)()PP AABB=3434()()P AAP BB=3434()()()()P AP AP BP B=0.60.6+0.40.4=0.52=1.0.52=0.48(3)1(2)PP 的分布列为23P0.520.482(2)3(3)EPP =20.52+30.48=2.4820（本小题满分
