专题：一道圆的习题的探究与应用 1、背景；几十年高考及各地各种大小备考，可以汇集成题的海洋但细究起来，其知识源头不过是重要的几个题的不同根基也屈指可数，在复习圆这一章节的时候，我们发现在高考的数学正卷中，屡次出现的同一个题根——“阿波罗尼斯圆”，竟连绵考核了10年以上所以今天我们尝试将这个内容单独提出来做一个专题，以试探讨2、设计意图：在课堂教学中，若能引导学生对试题进行适度的引申和推广，将有利于培养学生的归纳推理和类比推理的能力，有利于提高学生自主探究问题和创造性地解决问题的能力．充分挖掘和拓展高考试题的教育功能，体现和展示高考试题的教学价值3、教学目标：初步认识“阿波罗尼斯圆”，识别题目中“阿氏圆”，并能初步应用“阿氏圆”进行相关题目的解答一、教学引入【题根】（人教A版必修2，p124，B组，3题已知点与两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程理论探究】 （北京春季高考题）已知动点到定点的距离之比为定值λ.（c，λ为正数），那么点M的轨迹是什么？【解析】依题意，由距离公式：，化简得：【讨论】方程的图形是什么？①当λ=1时，得 x = 0 ,也就是线段的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）；②当λ≠1时，方程（1）变形得：，化成标准形式：，这是以为圆心，且半径的圆。
定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”）【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线：同一个方程，根据参数的不同，时而表示直线，时而表示圆，这是直线与圆的统一美归纳： 关键词： 两定点 一个定比 一个定圆二、问题探究问题一1、已知两定点 A (-1，0)，B (1，0)，如果动点P 满足| PA | =2| P B|，则点P的轨迹所包围的面积等于 ．2、（08.江苏13）满足条件的△ABC的面积的最大值是 【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系，因为有，代入阿波罗圆公式得：设圆心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大,此时.图4评注：既然△ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q，现在问：P,Q这两点究竟有什么性质？由于，∴为△ACB的内角平分线；同理，为△ACB的外角平分线这就是说，P,Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又被称为“内外圆”．因此，题3又有如下的轴上简洁解法:∵动点C 到定点A ( - 1，0 ) 和B（1，0）距离之比为, 则有 ,,∴得为内分点，为外分点．圆半径，即为三角形高的最大值，即△ABC 高的最大值是.故△ABC的面积的最大值是.问题二 已知点A(-2 , 0)，B(4 , 0)，圆，P是圆C上任意一点，问是否存在常数l，使得？若存在，求出常数l；若不存在，请说明理由．解：假设存在常数l，对于圆C上任意一点P，使得.设，则……①，由题意得：，整理…②,由①得，代入②式，得：对于无穷多个恒成立，解得，又，所以.三、高考精彩（2013.江苏卷，17题（2））如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在上. 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。
解析】点C在直线上，故设∵半径，∴圆C的方程是：．满足的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，由，这里圆心为D（0，-1）,半径．两圆有公共点的条件是：即，解得．评注：图中可以直观地说明两圆公共点的变化情况，当时，圆C为与所求圆D相切；当时，圆C为,也与所求圆D相切这样，答案的正确性也就不言而喻了．四、课后题根精练1、（06四川理6）已知两定点 A (-2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足| PA | =2| P B|，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ）A.π B.4π C.8π D.9π【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决设O为坐标原点，注意到,可知原点O为线段AB的内分点．设AB的外分点为，由，即有C（4，0）.于是圆直径为，∴，所求轨迹面积，故选B.2、△ABC中，角C的平分线交 AB于点 T， 且 AT = 2， TB = 1. 若AB上的高线长为2， 求 △ABC的周长. 【解析】建立如图5的直角坐标系，由条件知，故点C的轨迹是阿波罗圆D，且T为AB的内分点设AB的外分点为，∵，∴，即圆直径，图5故点D（2,0）．已知△ABC 中AB上的高线长为2，即,且由勾股定理得：，故所求三角形ABC的周长．评注：如果没有阿波罗圆的知识，你可能发现不了此三角形的高原来就是圆的半径，这是一个巧妙的隐含条件。
3. 设复数（），若，则复数所对应的点的轨迹方程为 3、.如图，设复数对应的动点为C（x,y），那么：，，也就是．2题解图注：本题虽然是以复数的形式出现，但实质还是阿波罗圆的一种形式注意到这里（原意是应转化为）.若直接代入公式：，亦得：.4.（2011.陕西理卷.17题）如图，设P是圆上的动点，点D是P在轴上投影，Ｍ为PD上一点，且．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．4.（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）, P的坐标为.由已知得.∵P在圆上，∴，即C的方程为;（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为,，将直线方程代入C的方程，得,即，∴，， ∴线段AB的长度为思考1已知点A(-2 , 0)，圆，P是圆C上任意一点，问：在平面上是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点，对于圆C上任意一点P，使得，当时，，，当时，，,解得所以点B的坐标为(4 , 0)，证明：点B的坐标为(4 , 0)时，设，则，，所以存在点，对于圆C上任意一点P，使得.思考2设圆，动圆，试探究：平面内是否存在定点，过点作圆的一条切线，切点为，过点作圆的一条切线，切点为，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点；如果不存在，说明理由.解：设定点，由题意得, ，,对于任意的a恒成立，解得所以点的坐标为或.。